高校数学・確率

♪♥ この教材は，高校数学の基本問題のうち，期待値のバックアップファイルです． ♫♣ 元の教材が機器や通信トラブルで読めないときに，こちらを使ってください．なお，学習の記録は付いていません． ※このページは,PC用です．スマホでは画面の右半分が見えていない場合がありますので，了解願います 【目次】 • 順列，組合せ，確率（共通,センター問題） • 確率の基本 • 確率の加法定理 • 確率の乗法定理 • 独立な試行の確率，反復試行の確率 • 条件付き確率 • 期待値 • 反復試行の確率（入試問題） • 確率の計算（入試問題） • 条件付き確率（入試問題） • ベイズの定理 • 確率，センター試験問題(2000-2008) ■期待値 （解説） 《要点》 変数 x1 x2 … xn 計 確率 p1 p2 … pn 1 【期待値】 (1)　初めに右のような表を作る． (2)　変数×確率の積を作る． xkpk (3)　それらの合計が期待値 E=x1p1+x2p2+ ··· +xnpn （解説） 　期待値とは，小中学校以来使っている用語で言えば，平均値のことである． ○ 　右の例を一般化して，次の表から平均値（＝期待値）を求めるには次のようにすればよい． 変数 x1 x2 … xn 計 度数 f1 f2 … fn N 確率 … 1 ※ f は頻度（度数） frequency の頭文字 　得点合計は S=x1f1+x2f2+ ··· +xnfn 　期待値（＝平均値）は ____________E= ____________=x1+x2+…+xn この式は確率 pk= を用いて次のように書ける． ____________E=x1p1+x2p2+ ··· +xnpn ※　期待値は Expectation の頭文字をとって E で表わされることが多い．

例　次の表はある試験を受けた40人の生徒の得点と人数の一覧表であるとする． 得点 X 10 20 30 40 50 計 人数 n 4 8 16 8 4 N=40 確率 P 1 ○ この40人の得点の平均値は次のようにして求められる． 10点の人が4人いるから，これらの小計は 10+10+10+10=10×4 20点の人が8人いるから，これらの小計は 20+20+…+20=20×8 ……… 50点の人が4人いるから，これらの小計は 50+50+50+50=50×4 　合計は 10×4+20×8+30×16+40×8+50×4 　合計を総人数で割れば平均値になるから 　平均値は E= ○　人数（度数）と確率には次の関係がある． 　人数を総人数Ｎで割ったものは確率になる．（相対度数とも呼ばれる．ただし，同様な確からしさは満たされているものとする．） 　たとえば･･･40人のうち4人が10点のとき，１人抽出された者が10点である確率は　 ○　上の計算は人数 n を使って行ったが，この計算は確率 p を使えば次のように書ける． E=10×+20×+30×+40×+50× ⇒まとめ：得点1×確率1＋得点2×確率2＋得点3×確率3＋･･･ が平均値（期待値）になる．

例題１ 　あるくじの賞金と本数は右の表のようになっている．このくじを１本引くときの賞金の期待値を求めよ． 賞金(円) 10 20 30 40 計 本数 4 3 2 1 10

（答案） ○　単に平均値と考えるときは，次の計算になる． 　合計は 10×4+20×3+30×2+40×1=200（円） 　平均値は =20（円） ○　期待値の計算では，まず次の表を作る． 賞金(円) 10 20 30 40 計 確率 1 次に，変数×確率を足していく． 期待値 E=10×+20×+30×+40×=4+6+6+4=20（円）

例題２ 　さいころを投げて出た目の10倍の金額をもらえることにしたとき，このさいころを１回投げたときにもらえる金額の期待値を求めよ．

（答案） 　表が書いてない　→　表を作る． 出た目 1 2 3 4 5 6 　 金額 10 20 30 40 50 60 計 確率 1 次に，変数×確率を足していく．この問題では，変数は「出た目」ではなくその１0倍 期待値 E=10×+20×+30×+40×+50×+60×=35

例題３ 　赤玉４個白玉３個の計７個が入っている袋から，３個の玉を同時に取り出すとき，出てくる赤玉の個数の期待値を求めよ．

（答案） 　表が書いてない　→　表を作る．個々の確率は「気長に，ていねいに」計算する．･･･この数字を埋めるのが山場． 赤玉の個数 0 1 2 3 計 確率 = = = = 1 次に，変数×確率を足していく． 期待値 E=0×+1×+2×+3×=

※以下の問題について，空欄を「半角数字」（１バイト文字の数字）で埋めるようにしてください．全角文字（２バイト文字）ばかりで埋めた場合でも，照合できることがありますが，全角半角交じり数字は確実に不正解となります． 問題１ ［独立な試行の確率］ 賞金 (円) 100 500 1000 計 本数 70 20 10 100 (1)　あるくじの賞金と本数が右のように決められているとき，このくじを１本引いたときの賞金の期待値を求めよ． （円） 採点する解説を見るやり直す

(1) 賞金 (円) 100 500 1000 計 確率 1 右のように確率分布表にする． 次に，（変数）×（確率）の和を求める E=100·+500·+1000· =70+100+100=270 →解説を隠す←

(2)　１個のさいころを投げるとき，出た目の数の期待値を求めよ． 採点する解説を見るやり直す

出た目の数 1 2 3 4 5 6 計 確率 1 (2) 右の表により E=1·+2·+3·+4·+5·+6· == …（答） →解説を隠す←

(3)　赤玉３個白玉２個の計５個が入っている袋から同時に２個の玉を取りだすとき，その中に含まれる赤玉の個数の期待値を求めよ． 採点する解説を見るやり直す

(3) 赤玉０個白玉２個が出る確率は = 赤玉１個白玉１個が出る確率は = 赤玉２個白玉０個が出る確率は = 赤玉 個数 0 1 2 計 確率 1 右の表から，E=0·+1·+2· == …（答） →解説を隠す←

(4)　２つのサイコロを投げて出た目の数をx, yとするとき，∣x−y∣の期待値を求めよ． 採点する解説を見るやり直す

(4) |x-y| 1 2 3 4 5 6 1 0 1 2 3 4 5 2 1 0 1 2 3 4 3 2 1 0 1 2 3 4 3 2 1 0 1 2 5 4 3 2 1 0 1 6 5 4 3 2 1 0 |x-y| の値は右のようになるから，確率分布表は次の表になる． |x-y| 0 1 2 3 4 5 計 度数 6 10 8 6 4 2 36 確率 1 E=0·+1·+2·+3·+4·+5·= …（答） →解説を隠す←

(5)　100円硬貨１枚と10円硬貨２枚の計３枚を投げて表を向いた硬貨の金額がもらえるとき， もらえる金額の期待値を求めよ． （円） 採点する解説を見るやり直す

(5) 　例えば，100円硬貨が裏，10円硬貨のうち１枚が表，１枚が裏→10円となる確率は ×2C1·()()=となる． 　他の場合も計算すると，確率分布表は次のようになる． 金額 0 10 20 100 110 120 計 確率 1 E=0·+10·+20·+100·+110·+120·=60 …（答） →解説を隠す←

(6)　３人で１回じゃんけんをするとき，勝者の人数の期待値を求めよ． （人） 採点する解説を見るやり直す

(6)　紙＝パー，石＝グー，鋏＝チョキ，以下パグチと略す 手の出し方の総数は N=33=27 通り （ア）１人勝ちとなるのは，パググのような出し方で 勝者の手の決め方が 3通り（敗者の手は自動的に決まる） 　　　勝者の決め方が 3C1=3通り 　　　 n=9 通りだから，確率は （イ）２人勝ちとなるのは，パパグのような出し方で 勝者の手の決め方が 3通り（敗者の手は自動的に決まる） 　　　勝者の決め方が 3C2=3通り 　　　 n=9 通りだから，確率は （ウ）アイコ（勝者0人）となるのは， 全員同じ手を出す（パパパなど）のが3通り 　　　３種類の手が出るのが 3!=6 通り 　　　 n=9 通りだから，確率は 勝者の人数の期待値は E=0·+1·+2·=1 …（答） →解説を隠す←