高校数学・確率

♪♥ この教材は，高校数学の基本問題のうち，確率の基本のバックアップファイルです． ♫♣ 元の教材が機器や通信トラブルで読めないときに，こちらを使ってください．なお，学習の記録は付いていません． ※このページは,PC用です．スマホでは画面の右半分が見えていない場合がありますので，了解願います 【目次】 • 順列，組合せ，確率（共通,センター問題） • 確率の基本 • 確率の加法定理 • 確率の乗法定理 • 独立な試行の確率，反復試行の確率 • 条件付き確率 • 期待値 • 反復試行の確率（入試問題） • 確率の計算（入試問題） • 条件付き確率（入試問題） • ベイズの定理 • 確率，センター試験問題(2000-2008) ■　確率の基本 ※数学Ａで習う確率の初めの部分は，中学校の復習になっている． 確率の定義 例１ 　くじで当たる確率を求めるときに，「当たりかはずれかどちらかだから，当たる確率は２分の1」などと雑な議論をしてはいけない． 　右図１のように，５本のくじの中に当たりくじが２本入っているときに，１本引いて当たる確率は，次のように求められる． 　くじの出方の全体の場合の数は N=5 　当たりくじが出る場合の数は n=2 　どのくじの出方も「同様に確からしい」から，確率は p= 【要約】 　ある試行で起こりうる全体の場合の数が N 通りで， 各々の起こり方が同様に確からしいとき， ある事柄が起こる場合の数が n 通りならば その確率は　p= 　 記号と用語 試行･･･同じ条件で繰り返すことができ，その結果が偶然によって決まる実験や観察（上の例1では，くじを引くこと） 事象･･･試行の結果起こる事柄（上の例1では，当たりくじが出ること） 全事象･･･試行で起こる結果の全体 　全事象は全体集合 U で表わされる．このとき，各々の事象は U の部分集合として A , B などの集合で表わされる． 　全事象を構成している個々の事象の起こり方が「同様に確からしい」とき，事象 A の起こる確率は U の要素数に対する A の要素数の比率で定義される． p==	図１ ○　確率は， すなわち，（部分の数）÷（全体の数）で求められるが， この計算で確率が求められるのは，全体の数を構成している各々の場合が「同様に確からしい」場合だけである． 　すなわち，この問題で全体の場合の数を「当たる」「はずれる」の N=2 通り，「当たる」場合 n=1 通りとすると，全体の場合の数を構成している個々の場合「当たる」「はずれる」が同じ確からしさで起こっていない．だから，= は確率にならない． 　これに対して，どのくじも同じように出るから，全体の場合の数を N=5 通り，当たりくじが出る場合の数を n=2 通りとすると，= は確率を表わす． 例１では N=n(U)=5 n=n(A)=2 p== となっている．
例２ 　１個のさいころを投げるとき，４以上の目が出る確率 起こりうるすべての場合の数は N=6 （各々，同様に確からしい） ４以上の目が出る場合の数は n=3 p==
例３ 　２枚の硬貨を投げるとき，表が１枚裏が１枚出る確率 起こりうるすべての場合の数は N=4 （各々，同様に確からしい） 表１枚裏１枚が出る場合の数は n=2 p==	※この問題で，表の出方は，２枚，１枚，0枚の３通りあって，問題に合うのが１通り， p= としてはいけない． ※　「順列」「組合せ」「場合の数」では，異なるｎ個のものがある問題も，同じものがｎ個ある問題も扱うが，確率の計算では，目に見える程度の大きさのものには区別があるとする．（造幣局がどんなに正確に硬貨を作っても各々の硬貨には区別があるとする．） 　この問題では，表が１枚出るのは２通りと数える．

問題１［サイコロの確率］ (1)　大小２つのさいころを同時に投げるとき，出た目の和が５になる確率を求めよ． 採点する解説を読むやり直す

(1)　 和 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 　起こり得るすべての場合の数は N=36 通りで，どの場合も同様に確からしい． 　目の和が５となる場合は n=4 通りだから p== →解説を隠す←

(2)　大小２つのさいころを同時に投げるとき，出た目の積が３の倍数になる確率を求めよ． 採点する解説を読むやり直す

(2)　 積 1 2 3 4 5 6 1 　 　 ○ 　 　 ○ 2 　 　 ○ 　 　 ○ 3 ○ ○ ○ ○ ○ ○ 4 　 　 ○ 　 　 ○ 5 　 　 ○ 　 　 ○ 6 ○ ○ ○ ○ ○ ○ 　起こり得るすべての場合の数は N=36 通りで，どの場合も同様に確からしい． 　目の積が３の倍数になる場合は n=20 通りだから p== →解説を隠す←

(3)　赤青２個のさいころを同時に投げるとき，出た目の最大値が５になる確率を求めよ． 採点する解説を読むやり直す

(3)　起こり得るすべての場合の数は N=62=36 通りで，どの場合も同様に確からしい． 最大 1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 4 5 6 2 2 2 3 4 5 6 3 3 3 3 4 5 6 4 4 4 4 4 5 6 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 6 6 　最大値が５ ⇔ （５以下が出る）－（４以下が出る） だから n=52 - 42=9 p== ※５以下の目が出るだけでなく，実際に５の目が出ていなければならない．図のように少なくとも1つは５の目となる場合の数を数える． →解説を隠す←

問題２［硬貨の確率］ (1)　３枚の硬貨を同時に投げるとき，表が２枚出る確率を求めよ． 採点する解説を読むやり直す

(1)　起こり得るすべての場合の数は N=23=8 通り 表が２回出るのは （表）（表）（裏） （表）（裏）（表） （裏）（表）（表） の n=3 通り p= →解説を隠す←

(2)　１枚の硬貨を４回投げるとき，表が２回以上連続して出る確率を求めよ． 採点する解説を読むやり直す

(2)　起こり得るすべての場合の数は N=24=16 通り 表が連続して２回出るのは （表）（表）（裏）（裏） （裏）（表）（表）（裏） （裏）（裏）（表）（表） （表）（表）（裏）（表） （表）（裏）（表）（表） の５通り 表が連続して３回出るのは （表）（表）（表）（裏） （裏）（表）（表）（表） の２通り 表が連続して４回出るのは （表）（表）（表）（表） の１通り 以上から，表が２回以上連続して出る場合の数は n=8 通り p== →解説を隠す←

(3)　１枚の硬貨を何回も投げて，表が２回出たところで終わるものとする．４回投げたときに終りになる確率を求めよ． 採点する解説を読むやり直す

(3)　４回投げて起こり得るすべての場合の数は N=24=16 通り ３回までに表１回出て，４回目に表が出るのは （表）（裏）（裏）（表） （裏）（表）（裏）（表） （裏）（裏）（表）（表）　の３通り 以上から，４回投げたときに終りになる場合の数は n=3 通り p= （参考） 　この問題で起こり得るすべての場合（全事象）として，２回で終わるとき，３回で終わるとき，４回で終わるとき，５回で終わるとき，･･･として，そのうちで４回で終わる場合の数の割合は？と考えると，どこまで計算したらよいのか困ってしまう． 　実際，数学Ａでは無限回の試行は原則として扱わない． 　上の答案では，４回の試行を行ったときに起こり得るすべての場合の数を分母とし，４回目で終わる場合の数を分子としている．これを図示すると次のようになる． （表）（表）||（表）（表） → ２回で終了 （表）（表）||（表）（裏） → ２回で終了 （表）（表）||（裏）（表） → ２回で終了 （表）（表）||（裏）（裏） → ２回で終了 （表）（裏）（表）||（表） → ３回で終了 （表）（裏）（表）||（裏） → ３回で終了 （表）（裏）（裏）（表）|| → ４回で終了 （表）（裏）（裏）（裏） → ５回目以降を行う （裏）（表）（表）||（表） → ３回で終了 （裏）（表）（表）||（裏） → ３回で終了 （裏）（表）（裏）（表）|| → ４回で終了 （裏）（表）（裏）（裏） → ５回目以降を行う （裏）（裏）（表）（表）|| → ４回で終了 （裏）（裏）（表）（裏） → ５回目以降を行う （裏）（裏）（裏）（表） → ５回目以降を行う （裏）（裏）（裏）（裏） → ５回目以降を行う これにより，N=16, n=3, p= とする． 　ただし，|| の後に灰色で示した部分は実際には行われないが，各々の場合を「同様に確からしく」数えるために４回目まで形式的に書いている．（例えば，先頭の例で，２回で終わる場合を （表）（表） の１通りとすれば，その数え方は「同様に確か」ではない．上のように先頭から４個で示した４通りと数えれば他と同様に確からしい数え方となる．） 　また，無限回まで調べるのか？という疑問について，上の表で「５回目以降」と示した場合分けに，５回，６回，･･･のすべての場合が含まれていることが分かる． →解説を隠す←

問題３［くじ引きの確率］ (1)　10本のくじの中に当たりくじが３本入っている．同時に２本引くとき２本とも当たりとなる確率を求めよ． 採点する解説を読むやり直す

(1)　 10本のくじの中から同時に２本引く場合の総数は 10C2=45 通り 当たりくじを２本引く場合の数は 3C2=3 通り p== →解説を隠す←

(2)　５本のくじの中に当たりくじが２本入っている．同時に２本引くとき少なくとも１本当たる確率を求めよ． 採点する解説を読むやり直す

(2)　 ５本のくじの中から同時に２本引く場合の総数は 5C2=10 通り ２本ともはずれの場合の数は 3C2=3 通り 少なくとも１本当たる場合の数は n=10−3=7 通り p= 　※少なくとも１本当たる場合の数は，（総数）−（全部はずれ）で求められる． 　素朴に,１本当たる場合と２本当たる場合を求めると次の通り． 　１本当たる場合が 2·3=6 通り，２本当たる場合は，2C2=1 通り，計7 通り →解説を隠す←

(3)　５本のくじの中に当たりくじが２本入っている．１本ずつ引き，引いたくじはもとに戻さないとき，２本とも当たる確率を求めよ． 採点する解説を読むやり直す

(3)　 　５本のくじの中から２回引く場合の総数は N=5P2=20 通り 　１番目のくじが当たりとなる場合の数は 2 通り （次に４本のうち１本が当たりくじになっているとき） ２番目に当たる場合の数は 1 通り 以上からn=2 通り p== ※総数を順列で数えるときは，場合の数も順列で数える． →解説を隠す←

問題４［赤玉白玉の確率］ (1)　袋の中に赤玉が３個白玉が２個入っている．この中から同時に３個取り出すとき，赤玉２個白玉１個が出てくる確率を求めよ． 採点する解説を読むやり直す

(1) 　合計５個の玉から３個取り出す場合の総数は 5C3=10 通り 　赤玉２個白玉１個を取り出す場合の数は 3C2×2C1=6 通り p== →解説を隠す←

(2)　袋の中に赤玉２個，白玉２個，青玉２個の計６個が入っている．この中から同時に２個取り出すとき，赤玉と白玉が１つずつ出てくる確率を求めよ． 採点する解説を読むやり直す

(2) 　合計６個の玉から２個取り出す場合の総数は 6C2=15 通り 　赤玉1個と白玉１個を取り出す場合の数は 2C1×2C1=4 通り p= →解説を隠す←

(3)　袋の中に赤玉２個，黄玉２個，緑玉２個の計６個が入っている．この中から１個ずつ３回取り出すとき，緑黄赤の順に出てくる確率を求めよ．ただし，取り出した玉は元に戻さない． 採点する解説を読むやり直す

(3) 　合計６個の玉から順に３個取り出す場合の総数は N=6P3=6·5·4 通り 　１番目に緑を取り出す場合の数は 2 通り 各々，２番目に黄を取り出す場合の数は 2 通り 各々，３番目に赤を取り出す場合の数は 2 通り n=2·2·2=8 通り p== ※総数を順列で数えるときは，場合の数も順列で数える． →解説を隠す←

問題５［順列の確率］ (1)　A, B, C, D, Eの５人がくじ引きで１列に並ぶとき，A, Bが隣り合う確率を求めよ． 採点する解説を読むやり直す

(1) 　５人の並び方の総数は5P5=120通り 　A, Bが隣り合う並び方は4! · 2!=48通り p== →解説を隠す←

(2)　A, B, C, D, Eの５人がくじ引きで横１列に並ぶとき，AがBよりも左にいる確率を求めよ． 採点する解説を読むやり直す

(2) 　５人の並び方の総数は N=5P5=120 通り 　ＡがＢよりも左に並ぶために，５つの座席のうちＣ，Ｄ，Ｅが並ぶ座席を決めれば，Ａ，Ｂは決まる．Ｃの座席の決め方 5 通り，各々Ｄの座席の決め方 4 通り，Ｅの座席の決め方 3 通り， 　n=60 通り， p== ※ＡがＢよりも左に並ぶ場合の数は　（←ＡＣＤＢＥなど） ＢがＡよりも左に並ぶ場合の数　（←ＢＣＤＡＥなど） と同数あるから，p= →解説を隠す←

(3)　1, 2, 3, 4, 5の５個の整数から３個取ってきて１列に並べるとき，３桁の奇数になる確率を求めよ． 採点する解説を読むやり直す

(3) ３個並べる並べ方の総数は N=5·4·3=60 通り そのうち奇数となる並べ方は， １の位の決め方が 3 通り， 各々百の位，十の位の決め方は 4·3 通り， 結局，３桁の奇数は n=4·3·3=36 通り p== →解説を隠す←

問題６［方程式の解などの確率］ (1)　１個のさいころを２回投げ，１回目に出た目をa，２回目に出た目を bとする．x=1が，２次方程式x2−ax+b=0の解となる確率を求めよ． 採点する解説を読むやり直す

(1) 　x=1 が，２次方程式 x2−ax+b=0 の解となるのは， 1−a+b=0 すなわち a−b=1 のとき a|b 1 2 3 4 5 6 1 　 　 　 　 　 　 2 ○ 　 　 　 　 　 3 　 ○ 　 　 　 　 4 　 　 ○ 　 　 　 5 　 　 　 ○ 　 　 6 　 　 　 　 ○ 　 図より N=36 , n=5, p= →解説を隠す←

(2)　赤，青，黄色の３個のさいころを同時に，赤のさいころの目を x，青のさいころの目をy，黄のさいころの目をzとするとき，x+y=zとなる確率を求めよ． 採点する解説を読むやり直す

(2) 目の出方の総数は N=63 通り x+y 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 x+y=z となる場合の数を数えると 1) z=1 のとき，なし． 2) z=2 のとき，1 通り 3) z=3 のとき，2 通り 4) z=4 のとき，3 通り 5) z=5 のとき，4 通り 6) z=6 のとき，5 通り 7) z≧7 のとき，なし． x+y=z となる場合の数は n=15 通り． p== →解説を隠す←

(3)　１個のさいころを２回投げ，１回目に出た目をa，２回目に出た目を bとする．２次方程式 x2+ax+b=0が実数解をもつ確率を求めよ． 採点する解説を読むやり直す

(3) 目の出方の総数は N=62 通り a/b 1 2 3 4 5 6 1 　 　 　 　 　 　 2 ○ 　 　 　 　 　 3 ○ ○ 　 　 　 　 4 ○ ○ ○ ○ 　 　 5 ○ ○ ○ ○ ○ ○ 6 ○ ○ ○ ○ ○ ○ 判別式 D=a2−4b≧0 となる場合の数は n=19 通り p= ※　判別式を習っていないときは，次の考え方を参考にせよ． 　x2+ax+b=0 の解は（解の公式により） これは，根号内　a2−4b≧0のとき実数解を持つ． →解説を隠す←

問題７［じゃんけんの確率］ (1)　Ａ，Ｂ，Ｃの３人でじゃんけんを１回するとき，あいことなる確率を求めよ． 採点する解説を読むやり直す

(1) 　３人の手の出し方の総数は N=33 通り 　ア）　３人が同じ手を出す場合の数は 3 通り 　イ）　紙（パー）石（グー）鋏（チョキ）の３種類が出る場合の数は 3! 通り ア）イ）よりあいことなるのは n=9 通り p== 「じゃんけん」の呼び方（グー，チョキ，パー）や「あいこ」の意味は，地域によって異なる場合がある．この問題では「あいこ」とは，１人の敗者もおらず，１人の勝者もいない場合を示すものとする･･･筆者の育った地域では，３人でじゃんけんをして，２人が勝者となって，その２人からさらに１人の勝者を決めるために行う場合も「あいこでしょ」という決まりになっているが，この問題では，その意味に解釈しない･･･すなわち，３人→勝者２人となってから，さらに１人の勝者を決めるために行うときは，改めて「じゃんけん」ということになる． →解説を隠す←

(2)　Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄの４人でじゃんけんをするとき，１回で１人の勝者が決まる確率を求めよ． 採点する解説を読むやり直す

(1) ４人の手の出し方の総数は N=34 通り 　勝者の手の出し方は 3 通り　（←グチパ） 　各々敗者３人の手の出し方は 1 通り　（←グに対してチ，チに対してパ，パに対してグ） 　各々勝者の決め方は 4 通り　（←グ=Ａなど） 以上より，１人の勝者が決まるのは n=12 通り p== →解説を隠す←

(3)　Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅの５人でじゃんけんをするとき，１回で３人の勝者が決まる確率を求めよ． 採点する解説を読むやり直す

(3) ５人の手の出し方の総数は N=35 通り 　勝者３人の手の出し方は 3 通り　（←グチパ） 　各々敗者２人の手の出し方は 1 通り　（←グに対してチ，チに対してパ，パに対してグ） 　各々勝者の決め方は 5C3=10 通り　（←グ=Ａ，グ=Ｂ，グ=Ｃ，チ=Ｄ，チ=Ｅなど） 以上より，３人の勝者が決まるのは n=30 通り p== →解説を隠す←