高校数学・確率

条件付き確率

♪♥ この教材は，高校数学の基本問題のうち，条件付き確率のバックアップファイルです． ♫♣ 元の教材が機器や通信トラブルで読めないときに，こちらを使ってください．なお，学習の記録は付いていません． ※このページは,PC用です．スマホでは画面の右半分が見えていない場合がありますので，了解願います【目次】 • 順列，組合せ，確率（共通,センター問題） • 確率の基本 • 確率の加法定理 • 確率の乗法定理 • 独立な試行の確率，反復試行の確率 • 条件付き確率 • 期待値 • 反復試行の確率（入試問題） • 確率の計算（入試問題） • 条件付き確率（入試問題） • ベイズの定理 • 確率，センター試験問題(2000-2008) ■条件付き確率 ■　全事象のどの要素が起こることも「同様に確からしい」とき，事象Ａの起こる確率Ｐ(Ａ)は，「全体に対する部分の比」で定義されます。 ■　これに対して，事象Ａが起こったときに事象Ｂが起こる確率(事象Ａが起こったことが分かっているときに事象Ｂが起こる確率)条件付き確率Ｐ_A(Ｂ)は，「部分に対する部分の比」で定義されます。	全体集合Ｕの要素の個数をｎ(Ｕ)，集合Ａの要素の個数をｎ(Ａ)で表わすとき，確率は全体に対する比になります。条件付き確率は部分に対する比になります。
【例1】　～個数が見える例～　あるクラス40人の生徒の男女別、芸術選択科目の人数は右図の通りであった。この中から１人を抽出して芸術選択科目を尋ねる場合、抽出されたのが女子であったとき、その女子が音楽を選択している確率女子の人数　ｎ(Ａ)=21 女子で音楽を選択している人数　ｎ(Ａ∩Ｂ)=8 $P_A(B)=\frac{8}{21}$
【例2】　～時間の経過に沿って確率が絞り込まれると考えると分かりやすい例～　５本のくじの中に当りくじが2本入っている。このくじをＡ，Ｂの順に引き，引いたくじは戻さない場合，Ａが当たったときにＢも当たる確率 ◎(考え方１)　Ａが当たったとき，残りくじは4本で、そのうち当りくじは1本になっているので条件付き確率　 $\frac{1}{4}$ (考え方２)　原則通りに個数を数えるときＡが当り、Ｂも当たる場合の数は 2×1 Ａが当り、Ｂの起こりうるすべての場合の数は 2×4 条件付き確率　 $\frac{1}{4}$ ※参考：Ｂが当たる確率Ａが当たってＢも当たる確率+ＡがはずれてＢが当たる確率 $P(B)=\frac{2\times 1}{5\times 4}+\frac{3\times 2}{5\times 4}=\frac{1}{10}+\frac{3}{10}=\frac{2}{5}$ は、Ａが当たる確率と等しい。	集合の要素の数で示せば、
【例3】　～時間をさかのぼって原因を考える例～　病気(かぜなど)に罹った人100人に協力してもらって、ある薬(かぜ薬など)を服用した人、服用しなかった人に分かれて、１日以内に症状の改善が見られたかどうかをテストしたとき、右のような結果が得られたものとする。(数字は、説明のために作ったものです。) 　１日以内に症状の改善が見られた人を選んだとき、その人が薬を服用していた確率 1日以内に症状の改善が見られた：Ａ、その薬を服用した：Ｂとする。ｎ(Ａ)=45 ｎ(Ａ∩Ｂ)=30 $P_A(B)=\frac{30}{45}=\frac{2}{3}$	※　確率は未来に向かって投げかけられた可能性と考えるのが自然ですが、確率、条件付き確率は「集合の要素数の比」で定義されており時間は含まれていません。だから、この例のように、内容的に過去にさかのぼっている確率もあります。（このような確率は「原因の確率」と呼ばれます．）

※次の各問に答えてください．解答は下の選択肢から正しいと思うものをクリック．解答すれば採点結果と解説が出ます． ≪問題1≫ あるクラス40人の生徒の男女別、芸術選択科目の人数は次の図の通りであった．この中から１人を抽出する場合、抽出されたのが音楽選択者であったとき、その人が女子である確率を求めよ． $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{3}$ $\frac{2}{3}$ $\frac{2}{5}$ $\frac{3}{5}$ $\frac{2}{7}$ $\frac{4}{7}$ $\frac{2}{15}$ $\frac{4}{15}$ $\frac{8}{15}$ $\frac{2}{17}$ $\frac{4}{17}$ $\frac{8}{17}$ 解説	≪問題2≫ さいころを2回振って出た目の和を調べる。１回目に6の目が出たとき、２回の目の和が10以上になる確率を求めよ． $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{3}$ $\frac{2}{3}$ $\frac{2}{5}$ $\frac{3}{5}$ $\frac{2}{7}$ $\frac{4}{7}$ $\frac{2}{15}$ $\frac{4}{15}$ $\frac{8}{15}$ $\frac{2}{17}$ $\frac{4}{17}$ $\frac{8}{17}$ 解説
≪問題3≫ ある家庭に２人の子どもがいて、そのうち少なくとも１人は女子であることが分かっているとき、２人とも女子である確率を求めよ．　(男女の出生比率はここでは１：１とします．) $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{3}$ $\frac{2}{3}$ $\frac{2}{5}$ $\frac{3}{5}$ $\frac{2}{7}$ $\frac{4}{7}$ $\frac{2}{15}$ $\frac{4}{15}$ $\frac{8}{15}$ $\frac{2}{17}$ $\frac{4}{17}$ $\frac{8}{17}$ 解説	≪問題4≫ ある家庭に２人の子どもがいて、玄関で１人を呼んだら女子が出てきたとき、もう１人も女子である確率を求めよ．　(男女の出生比率はここでは１：１とします．) $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{3}$ $\frac{2}{3}$ $\frac{2}{5}$ $\frac{3}{5}$ $\frac{2}{7}$ $\frac{4}{7}$ $\frac{2}{15}$ $\frac{4}{15}$ $\frac{8}{15}$ $\frac{2}{17}$ $\frac{4}{17}$ $\frac{8}{17}$ 解説
≪問題5≫ Ａ，Ｂの２人が１回だけジャンケンをするときの手の出し方と勝敗の約束は次のとおりとします。Ａがチョキ(はさみ)を出したとき，Ａが勝つ確率を求めよ． $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{3}$ $\frac{2}{3}$ $\frac{2}{5}$ $\frac{3}{5}$ $\frac{2}{7}$ $\frac{4}{7}$ $\frac{2}{15}$ $\frac{4}{15}$ $\frac{8}{15}$ $\frac{2}{17}$ $\frac{4}{17}$ $\frac{8}{17}$ 解説	≪問題6≫ Ａ，Ｂの２人が１回だけジャンケンをしてＡが勝ったときに，Ａの手がチョキである確率を求めよ． $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{3}$ $\frac{2}{3}$ $\frac{2}{5}$ $\frac{3}{5}$ $\frac{2}{7}$ $\frac{4}{7}$ $\frac{2}{15}$ $\frac{4}{15}$ $\frac{8}{15}$ $\frac{2}{17}$ $\frac{4}{17}$ $\frac{8}{17}$ 解説
≪問題7≫ Ａ，Ｂの２人がさいころを１回ずつ振って出た目の大きい方を勝ちとし，同じ目なら引き分けとする。Ａの目が３のとき，Ａが勝つ確率を求めよ． $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{3}$ $\frac{2}{3}$ $\frac{2}{5}$ $\frac{3}{5}$ $\frac{2}{7}$ $\frac{4}{7}$ $\frac{2}{15}$ $\frac{4}{15}$ $\frac{8}{15}$ $\frac{2}{17}$ $\frac{4}{17}$ $\frac{8}{17}$ 解説	≪問題8≫ Ａ，Ｂの２人がさいころを１回ずつ振って出た目の大きい方を勝ちとし，同じ目なら引き分けとする．Ａが勝ったとき，Ａの目が３である確率を求めよ． $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{3}$ $\frac{2}{3}$ $\frac{2}{5}$ $\frac{3}{5}$ $\frac{2}{7}$ $\frac{4}{7}$ $\frac{2}{15}$ $\frac{4}{15}$ $\frac{8}{15}$ $\frac{2}{17}$ $\frac{4}{17}$ $\frac{8}{17}$ 解説
≪問題9≫（確率の比で考えられるもの）[各々既約分数で答えなさい。] ある高校の学園祭で、Ａ組の演劇のパンフレットを見た生徒と実際にＡ組の演劇に来た生徒の割合は、次のとおりであった。Ａ組の演劇に来た生徒を１人抽出したとき、その生徒がパンフレットを見た確率を求めよ． $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{3}$ $\frac{2}{3}$ $\frac{2}{5}$ $\frac{3}{5}$ $\frac{2}{7}$ $\frac{4}{7}$ $\frac{2}{15}$ $\frac{4}{15}$ $\frac{8}{15}$ $\frac{2}{17}$ $\frac{4}{17}$ $\frac{8}{17}$ 解説	≪問題10≫ あるクラスでＡというテレビ番組とＢというテレビ番組について、見たかどうかを調査したところ、両方とも見た生徒は20％、Ａだけ見た生徒は10％、Ｂだけ見た生徒は40％、どちらも見なかった生徒は30％であった。Ａを見なかった生徒を１人抽出したとき、その生徒がＢを見た確率を求めよ． $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{3}$ $\frac{2}{3}$ $\frac{2}{5}$ $\frac{3}{5}$ $\frac{2}{7}$ $\frac{4}{7}$ $\frac{2}{15}$ $\frac{4}{15}$ $\frac{8}{15}$ $\frac{2}{17}$ $\frac{4}{17}$ $\frac{8}{17}$ 解説

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