高校数学・確率

ベイズの定理

♪♥ このページは，元の教材「高校数学の基本問題」の「ベイズの定理」について，サーバ・トラブル等に備えてバックアップ・ファイルとして作成したものです．
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【目次】 • 順列，組合せ，確率（共通,センター問題）
• 確率の基本
• 確率の加法定理
• 確率の乗法定理
• 独立な試行の確率，反復試行の確率
• 条件付き確率
• 期待値
• 反復試行の確率（入試問題）
• 確率の計算（入試問題）
• 条件付き確率（入試問題）
• ベイズの定理
• 確率，センター試験問題(2000-2008)

== ベイズの定理 ==

(1)　条件付き確率の定義

■　全事象のどの要素が起こることも「同様に確からしい」とき，事象Ａの起こる確率Ｐ(Ａ)は，「全体に対する部分の比」で定義されます。

■　これに対して，事象Ａが起こったときに事象Ｂが起こる確率(事象Ａが起こったことが分かっているときに事象Ｂが起こる確率)条件付き確率Ｐ_A(Ｂ)は，「部分に対する部分の比」で定義され， $P_{A}(B)$ または $P(B|A)$ で表される．

$P_{A}(B)=\frac{n(A\cap B)}{n(A)}$ ･･･① の式の右辺の分母と分子を，全体の個数 $n(U)$ で割ると
$P_{A}(B)=\frac{\frac{n(A\cap B)}{n(U)}}{\frac{n(A)}{n(U)}}$

　ところで，全体の個数で割ったものは，各々の確率を表すから，分母と分子は確率 $p(A\cap B)$ と $p(A)$ になる．

$P_{A}(B)=\frac{p(A\cap B)}{p(A)}$ ･･･②

【例1】

　あるクラス40人の生徒の男女別，芸術選択科目の人数は右図の通りであった．この中から１人を抽出して芸術選択科目を尋ねる場合
(1)　抽出されたのが女子(A)であったとき，その女子が音楽を選択(B)している確率

女子の人数は， $n(A)=21$
女子で音楽を選択している人数は， $n(A\cap B)=8$

①を使うと， $P_{A}(B)=\frac{8}{21}$

女子の確率は， $p(A)=\frac{21}{40}$
女子でかつ音楽選択者の確率は， $p(A\cap B)=\frac{8}{40}$
②を使うと， $P_{A}(B)=\frac{\frac{8}{40}}{\frac{21}{40}}=\frac{8}{21}$
※この問題で，音楽選択者のうちの男子9人の取り扱いに迷いがあってはいけない．男子の音楽選択者は，女子(A)を選んだ段階で，分母にも分子にも入らない･･･つまり，この計算は「女子の内部での芸術選択者の比率」であることに注意

(2)　抽出されたのが音楽選択者(B)であったとき，その生徒が女子(A)である確率

音楽選択者の人数は， $n(B)=17$
音楽選択者かつ女子の人数は， $n(B\cap A)=8$

①を使うと， $P_{B}(A)=\frac{8}{17}$

音楽選択者の確率は， $p(A)=\frac{17}{40}$
音楽選択者かつ女子の確率は， $p(B\cap A)=\frac{8}{40}$
②を使うと， $P_{A}(B)=\frac{\frac{8}{40}}{\frac{17}{40}}=\frac{8}{17}$
※この問題で，女子の美術選択者13人の取り扱いに迷いがあってはいけない．女子の美術選択者は，音楽選択者(B)を選んだ段階で，分母にも分子にも入らない･･･つまり，この計算は「音楽選択者の内部での女子の比率」であることに注意

(2)　原因の確率

　上記の条件付き確率の定義①においては，分母と分子はいずれも「事象の要素の個数」になっており，時間とか前後関係というものは含まれていない．②も同様です．
　したがって，上記の①②において，A,Bの前後関係がどうであっても，条件付き確率が定義できることになります．
【例2】

　かぜに罹った人100人に協力してもらって，ある薬を服用した人(A)，服用しなかった人に分かれて，１日以内に症状の改善が見られたか(B)どうかをテストしたとき，右のような結果が得られたものとする．(数字は、説明のために作ったものです．)
(1)　お薬を飲んだ人(A)が，１日以内に症状の改善が見られた(B)確率

お薬を飲んだ人数は， $n(A)=50$
お薬を飲んでかつ１日以内に症状の改善が見られた(B)人数は， $n(A\cap B)=30$

①を使うと， $P_{A}(B)=\frac{30}{50}=\frac{3}{5}$

(2)　１日以内に症状の改善が見られた人(B)が，そのお薬を飲んでいた(A)確率

１日以内に症状の改善が見られた(B)人数は， $n(B)=45$
１日以内に症状の改善が見られた人のうちでお薬を飲んでいた人数(A)は， $n(A\cap B)=30$

①を使うと， $P_{B}(A)=\frac{30}{45}=\frac{2}{3}$

　(1)は，時間の生起する順に考える確率で，（詳しく言えば様々な要因があるはずであるが，因果関係を単純化して言えば），そのお薬を飲んだとき(A)に，１日以内に症状の改善(B)がどれくらいの割合で期待できるかを表している．
　これに対して，(2)は，１日以内に症状の改善が見られた人(B)のうちでお薬を飲んでいた人数(A)の割合を表している．(2)は，「結果が分かってから，なおった原因がそのお薬である確率」を表しているので，原因の確率と呼ばれる．

(3)　ベイズの定理

もれなく，重複のない事象の例
【例3】
　1以上100以下の整数100個を全体集合(U)として，そのうちの，3で割り切れるものの集合(A)，3で割ると1余るものの集合(B)，3で割ると2余るものの集合(C)のように，3で割ったときの余りで分類すると，

• A, B, Cは互いに排反である(=重複がない)
$A\cap B=\empty,\hspace{2}B\cap C=\empty,\hspace{2}C\cap A=\empty$
• A, B, Cを合わせると全体集合になる(=もれがない)
$A\cup B\cup C=U$

【例4】あるスーパーでは，A県産の米，B県産の米，C県産の米，D県産の米の４種類の米を売っていて，これ以外は売っていない．

• A, B, C, Dは互いに排反である(=重複がない)
$A\cap B=\empty,\hspace{2}\cdots,\hspace{2}C\cap D=\empty$
• A, B, C, Dを合わせると全事象になる(=もれがない)
$A\cup B\cup C\cup D=U$

【ベイズの定理】
　 $A,\hspace{2}B,\hspace{2}C$ が互いに排反（ $A\cap B=\empty,\hspace{2}B\cap C=\empty$ ， $C\cap A=\empty$ ）であって，それらの和事象が全事象（ $A\cup B\cup C=U$ ）であるとする．

　 $A,\hspace{2}B,\hspace{2}C$ のいずれかを原因として，ある事象 $E$ が起こったとき，その原因が $A$ である確率は
$P_{E}(A)=\frac{P(A\cap E)}{P(E)}$
$=\frac{P(A)P_{A}(E)}{P(A)P_{A}(E)+ P(B)P_{B}(E)+ P(C)P_{C}(E)}$

（解説･証明）

ベイズの定理では，原因となる事象A, B, C, ...が全事象を「もれなく」「重複なく」分類し尽くしていることが鍵になります

図のように，事象 $E$ は，３つの部分に分かれるが，これらはお互いに排反事象だから，確率は和で表される．
$P(E)=P(A\cap E)+ P(B\cap E)+ P(C\cap E)$
各々の確率を乗法定理を用いて変形すると
$P(A\cap E)=P(A)P_{A}(E)$
$P(E)=P(A)P_{A}(E)+ P(B)P_{B}(E)+ P(C)P_{C}(E)$
したがって
$P_{E}(A)=\frac{P(A)P_{A}(E)}{P(A)P_{A}(E)+ P(B)P_{B}(E)+ P(C)P_{C}(E)}$

［用語］
$\fbox{P_{E}(A)}=\frac{\fbox{P(A)}P_{A}(E)}{P(A)P_{A}(E)+ P(B)P_{B}(E)+ P(C)P_{C}(E)}$
の式において， $\fbox{P(A)}$ を事前確率， $\fbox{P_{E}(A)}$ を事後確率という

【例題1】
　Aの袋には，赤玉が3個と白玉2個が入っており，Bの袋には赤玉が2個と白玉3個が入っている．いま，無作為に1つの袋を選んで1つの玉を取り出したら，赤玉だったとする．このとき，その赤玉がAの袋から出たと考えられる確率を求めてください．

（解説）
Aの袋(A)から赤玉が出る(E)確率は
$P(A)P_{A}(E)=\frac{1}{2}\times\frac{3}{5}=\frac{3}{10}$
赤玉が出る(E)確率は
$P(A)P_{A}(E)+ P(B)P_{B}(E)$
$=\frac{1}{2}\times\frac{3}{5}+\frac{1}{2}\times\frac{2}{5}=\frac{3}{10}+\frac{1}{5}=\frac{1}{2}$
求める確率は
$P_{E}(A)=\frac{\frac{3}{10}}{\frac{1}{2}}=\frac{3}{5}$
※この問題では，たまたまA,Bの袋が選ばれる確率が等しく，A, Bの中の玉の数も等しいので，赤玉の数だけを見れば，5分の3と一致するが，一般にはそのように簡単にはならない．

この例では， $P(A)=\frac{1}{2}$ が事前確率であり，「赤玉が出たという条件のもとで，原因がAである」事後確率が $P_{E}(A)=\frac{3}{5}$ である．

【問題1】
　Aの袋には，赤玉2個と白玉1個が入っており，Bの袋には赤玉2個と白玉2個が，Cの袋には赤玉1個と白玉2個が入っている．いま，無作為に1つの袋を選んで1つの玉を取り出したら，赤玉だったとする．このとき，その赤玉がCの袋から出たと考えられる確率を求めてください．

解答を見る

Cの袋(C)から赤玉が出る(E)確率は
$P(C)P_{C}(E)=\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{9}$
赤玉が出る(E)確率は
$P(A)P_{A}(E)+ P(B)P_{B}(E)+ P(C)P_{C}(E)$
$=\frac{1}{3}\times\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\times\frac{2}{4}+\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{2}$
求める確率は
$P_{E}(C)=\frac{\frac{1}{9}}{\frac{1}{2}}=\frac{2}{9}$
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【例題2】
　ある会社では，A, B, C３つの工場で同じ製品を作っており，A工場では全体の50%，B工場では全体の30%，C工場では全体の20%を生産する．
　長年の統計で，それぞれの工場で作られる製品の内で不良品が含まれる割合は，A工場1%，B工場2%，C工場4%となることが分かっている．
　製品全体の中から無作為に１個を取り出したら不良品であったとき，それがA工場で作られたものである確率を求めてください．

（解説）
A, B, Cで作られるという事象を，各々A, B, Cで表し，不良品であるという事象をEで表す．
A工場で作られ，かつ，不良品である確率は
$P(A)P_{A}(E)=0.5\times 0.01=0.005$
A,B,Cのいずれかで作られた不良品である確率は
$P(A)P_{A}(E)+ P(B)P_{B}(E)+ P(C)P_{C}(E)$
$=0.5\times0.01+ 0.3\times0.02+ 0.2\times0.04=0.019$
求める確率は
$P_{E}(A)=\frac{0.005}{0.019}=\frac{5}{19}$

【問題2】
　ある高校では，A, B2つの中学校とCその他の中学校から入学者を受け入れている．A中学校から全体の60%，B中学校から全体の30%，Cその他の中学校から全体の10%の入学者があった．
　長年の統計で，それぞれの中学校出身者の内で自転車通学希望者の割合は，A20%，B30%，C50%となることが分かっている．
　自転車通学希望者の中から無作為に１人を抽出したとき，A中学校出身者である確率を求めてください．

解答を見る

出身中学校を，各々A, B, Cで表し，自転車通学希望者をEで表す．
Aで，かつ，自転車通学希望者である確率は
$P(A)P_{A}(E)=0.6\times 0.2=0.12$
A,B,Cのいずれかの自転車通学希望者である確率は
$P(A)P_{A}(E)+ P(B)P_{B}(E)+ P(C)P_{C}(E)$
$=0.6\times0.2+ 0.3\times0.3+ 0.1\times0.5=0.26$
求める確率は
$P_{E}(A)=\frac{0.12}{0.26}=\frac{6}{13}$
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【例題3】
　ある病気のウイルスに感染しているかどうかを調べる試験は大変難しい作業になっていて，実際に感染していると分かっている人 $(A)$ に対して1回の試験を行った場合に，感染している $(E)$ という結果が出る確率は70%，感染していない $(\bar{E})$ という結果が出る確率は30%だとします．
　また逆に，実際には感染していないことが分かっている人 $(\bar{A})$ に1回の試験を行った場合に，感染している $(E)$ という結果が出る確率は30%，感染していない $(\bar{E})$ という結果が出る確率は70%であるとします．
　感染率が10%の町で無作為抽出検査を行って，感染している $(E)$ という結果が出た人について，その人が実際に感染している確率を求めてください．

（解説）
ある人が感染していて，かつ，感染しているという結果が出る確率は
$P(A)P_{A}(E)=0.1\times 0.7=0.07$
とにかく感染しているという結果が出る確率は
$P(A)P_{A}(E)+ P(\bar{A})P_{\bar{A}}(E)$
$=0.1\times0.7+ 0.9\times0.3=0.34$
求める確率は
$P_{E}(A)=\frac{0.07}{0.34}=\frac{7}{34}$ ･･･約21%

　「初等統計学」(培風館, P.G.ホーエル著, 浅井晃･村上正康共訳)に出ている問題の引用．元の例は文章で書かれているが，表として要約して引用する．

【問題3】
　まれにしか起こらないある特別な病気Aを発見するのに，ある検査法Eが有効であるとする．

	検査法Eで病気Aと診断される確率	検査法Eで病気Aと診断されない確率
病気Aに感染している人（母集団の1%）	97%	3%
健康な人(B) （母集団の96%）	5%	95%
別の軽い病気の人(C) （母集団の3%）	10%	90%

　母集団から無作為に選ばれた1人が，この検査Eを受けて病気Aにかかっていると診断されたとき，その人が実際に病気Aにかかっている確率を求めてください．

解答を見る

病気Aにかかっていて，かつ検査で病気Aと診断される確率は
$P(A)P_{A}(E)=0.01\times 0.97=0.0097$
無作為検査で病気Aと診断される確率は
$P(A)P_{A}(E)+ P(B)P_{B}(E)+ P(C)P_{C}(E)$
$=0.01\times0.97+ 0.96\times0.05+ 0.03\times0.1=0.06$
求める確率は
$P_{E}(A)=\frac{0.0097}{0.06}=0.16$ ･･･約16%
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【例題3】や【問題3】の結果からは，病気でないのに病気であると診断される割合が多過ぎて，再検査の負担や精神的苦痛を伴うため，集団検診の実施には疑問があるようです．（1995年発行の原書第4版）

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