独立な試行の確率，反復試行の確率
♪♥ この教材は，高校数学の基本問題のうち，独立な試行の確率，反復試行の確率のバックアップファイルです．
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《要点》
【独立な試行の確率】
A , B が独立であるとき，A も B も起こる確率は
P(A)·P(B)
で求められる．

例１　さいころを２回投げて１回目に３以下，２回目に４以下の目が出る確率を求めるとき 　ここまでに習った考え方で，右の図1のように１回目，２回目の起こり得るすべての場合を N=36 と考えるときは，
　式１のように計算して，P = = とする．

　しかし，この問題では１回目に出る目は２回目に出る目に影響していないので，式２のように１回目に３以下となる確率()と２回目に４以下となる確率()の積でも求めることができる． ⇒　このように，A , B が独立であるとき，A も B も起こる確率は
P(A)·P(B)
で求められる．
右上に続く↑
→左下から続く
図１
　 1 2 3 4 5 6
1 ○ ○ ○ ○ 　 　
2 ○ ○ ○ ○ 　 　
3 ○ ○ ○ ○ 　 　
4 　 　 　 　 　 　
5 　 　 　 　 　 　
6 　 　 　 　 　 　
式1
式2

例題
　さいころを2回投げるとき２回とも偶数の目が出る確率は 　１回目に偶数(2 , 4 , 6)が出る確率は ，２回目に偶数(2 , 4 , 6)が出る確率は

×=
独立でない例　赤玉３個，白玉２個が入っている袋から，玉を１つずつ取り出し，取り出した玉は元に戻さない場合に，赤玉が２回出る確率を求めるとき（非復元抽出という） 　取り出した玉を元に戻さない場合は，１回目に起こったことは２回目の出方に影響する：

（ア）　１回目に赤玉が出たとき，袋の中は赤玉２個，白玉２個の計４個になるから，
　２回目に赤が出る確率は

（イ）　１回目に白玉が出たとき，袋の中は赤玉３個，白玉１個の計４個になるから，
　２回目に赤が出る確率は ⇒　このように取り出した玉を元に戻さないときは，１回目に A が起こることと２回目に B が起こることは独立ではない．

⇒　取り出した玉を元に戻すときは，「独立な試行の確率」が適用できるが，取り出した玉を元に戻さないときは「独立な試行の確率」が適用できない．
右上に続く↑
→左下から続く
図２
※　この問題を今までに習った方法で解くには，
１回目の玉の出方は5通り，そのそれぞれについて２回目の玉の出方は4通り → N=20 通り
　１回目に赤が出るのは3通り，その各々について２回目に赤が出るのは２通り → n=6 通り
p = =
とする．

※　この問題で，１回目に取り出した玉を元に戻すとき（復元抽出という．）は，１回目の玉と２回目の玉はお互いに影響されず，赤赤と出る確率は
p = × =
で求められる．
《要点》
【反復試行の確率】
１回の試行で事象 A が起こる確率が p のとき，この試行を n 回繰り返してA が r 回起こる確率は
nCr pr qn - r
ただし，q= 1 - p
（解説）
○　５回のうち A が３回起こる確率で調べると，
(1)　AAA となる場合 ⇒ pppqq=p3q2 だけでなく
A が起こる順序だけが異なり，A が合計３回となっているものはすべて当てはまる．このようなものは右のように(1)～(10)の10通りあるから，その確率は 10 p3q2 になる．

○　この係数10は次のようにして求められる：

ア）「同じものがあるときの順列」で考える場合 p が３個，q(=1 - p) が２個あるとき，これらを並べ替えてできる順列の総数は 通りあるから，

p3q2 は 回登場し，その和は， p3q2

ここで，=5C3 と書けるから，5C3p3q2 イ）「組合せ」で考える場合 p が３個，q(=1 - p) が２個あるとき，これらを並べ替えてできる順列は並び方の番号札①②③④⑤のうち p の行き先の番号札３個（組合せ）で決まる．
　たとえば， p の行き先の番号札が①③④のときは pqppq になる．p の行き先の番号札が①④⑤のときは pqqpp になる，など．
　このように考えれば，p ３個，q(=1 - p) ２個を並べ替えてできる順列の総数は，5C3 通りあるから，確率の合計は 5C3p3q2 になる．
○　一般に
　１回の試行で事象 A が起こる確率が p のとき，この試行を n 回繰り返してA が r 回起こる確率は，pr qn - r となる場合が，nCr 通りあることから，それらの合計は
nCr pr qn - r
で求められる．
右上に続く↑
→左下から続く
（５回のうち３回起こる確率）
　事象 A が起こる確率が p のとき，この試行を 5 回繰り返して A が 3 回起こる確率は，次の各場合を足せばよい．　
(1)　pppqq=p3q2
(2)　ppqpq=p3q2
(3)　ppqqp=p3q2
(4)　pqppq=p3q2
(5)　pqpqp=p3q2
(6)　pqqpp=p3q2
(7)　qpppq=p3q2
(8)　qppqp=p3q2
(9)　qpqpp=p3q2
(10) qqppp=p3q2
⇒上の各式を足したとき，p3q2 が10回登場するから，
回数が係数になって，和は 10 p3q2 になる．
例題
　硬貨を5回投げるとき表がちょうど3回出る確率は 　１回の試行で表が出る確率は p = ，表が出ない確率はq=1−p=だから

5回のうち表がちょうど3回出る確率は
5C3()3()2=10× =
例題
　さいころを6回投げるとき１の目がちょうど2回出る確率は 　１回の試行で１の目が出る確率は p =，１の目
が出ない確率は q=1−p= だから
6回のうち１の目がちょうど2回出る確率は
6C2()2()4=15× =

問題１ ［独立な試行の確率］
(1)　さいころを２回投げるとき，１回目は３以下，２回目は３以上の目が出る確率を求めよ．
(2)　２人の生徒Ａ，Ｂがある試験に合格する確率が各々 p= , のとき，Ａが合格，Ｂが不合格となる確率を求めよ．
(3)　１と書かれた玉が３個，２と書かれた玉が２個，３と書かれた玉が１個，計６個が入っている袋から玉を３回取り出して番号を調べる．取り出した玉はその都度元に戻すものとして，１，２，３の順に玉が出る確率を求めよ．
(4)　Ａ，Ｂ，Ｃの３人が的に矢を当てるゲームを行う．
Ａが当たる確率は ，Ｂが当たる確率は ，Ｃが当たる確率は
とするとき，この３人が１回ずつゲームをして２人以上当たる確率を求めよ．
問題２ ［反復試行の確率］
(1)　硬貨を５枚投げるとき，４枚以上表が出る確率を求めよ．
(2)　さいころを４回に投げるとき，少なくとも１回６の目が出る確率を求めよ．
(3)　硬貨を投げて，表が出れば点 P は x 軸の正の方向に２進み，裏が出れば負の方向に１進むものとする．初め原点にあった点 P が硬貨を５回投げた後に x=1 の位置にある確率を求めよ．
(4)　（ややむずかしい）
　硬貨を投げて，表が出れば点 P は x 軸の正の方向に１進み，裏が出れば負の方向に１進むものとする．点 P が初め原点にあったとき，硬貨を６回投げた後にどの位置にある確率が最も高いか．
x=

(5)　野球でＡチームとＢチームが試合を行い，どちらかのチームが先に４勝するまで試合を行うとき，第６試合が行われる確率を求めよ．
　ただし，両チームの実力は等しく，引き分けはないものとする．


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