高校数学・確率

♪♥ この教材は，高校数学の基本問題のうち，確率の加法定理のバックアップファイルです．
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【目次】 • 順列，組合せ，確率（共通,センター問題）
• 確率の基本
• 確率の加法定理
• 確率の乗法定理
• 独立な試行の確率，反復試行の確率
• 条件付き確率
• 期待値
• 反復試行の確率（入試問題）
• 確率の計算（入試問題）
• 条件付き確率（入試問題）
• ベイズの定理
• 確率，センター試験問題(2000-2008)

■解説

《要点》 【確率の加法定理】 A∩B=Ø［空集合］のとき，（A, B が排反事象のとき） ________P(A∪B)=P(A)+P(B) 【一般の加法定理】 __P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)

※　AとBに共通部分がないとき，これらは排反事象であるという． 　排反事象を表わす書き方はいろいろあり，「両立できない」「同時には成り立たない」「共通部分がない」「A∩B=Ø」など同じ意味になる． ※　「一般の加法定理」は，個数定理（和集合の要素の個数に関するもの）を全体集合の要素数Nで割ったものである．（Nで割ると確率になる．） ________n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B) ________⇒　= + − ________⇒　P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A∩B)

例１ 　「袋の中に赤玉３個，白玉２個が入っているとき，この中から同時に２個取り出して同じ色の玉が出る確率」を求めるには 　「同じ色の玉が出る」ことを「赤玉が２つ」の場合と「白玉が２つ」に分けて考える． 　赤玉が２つ出る確率は = 　白玉が２つ出る確率は = ⇒ + = を答とする． 　この例では，A 「赤玉が２つ出る」，B 「白玉が２つ出る」，とするとき，A∩B=Ø［空集合］なので（A と B の共通部分がない），どちらか一方が起こる確率は「足し算で求められる」．

例２ 　「1から100までの整数が書かれている100枚のカードから１枚を抽出したとき，その数が3または5で割り切れる確率」を求めるには 　3の倍数となる確率は 　5の倍数となる確率は 　15の倍数となる確率は ⇒ + − = を答とする． 　この例では，A 「3の倍数」，B 「5の倍数」，とするとき，A と B の共通部分があるので，単に P(A)+P(B) を計算すると二重に足してしまう部分ができる．そこで，二重の部分 P(A∩B) を引いて答にする．

100÷3=33･･･1 100÷5=20 100÷15=6･･･10

《要点》 【余事象の確率】 ________P(A)=1−P(A) ※　「少なくとも１つ」　⇔　余事象を考える 例３ 　「３個の硬貨を投げるとき，少なくとも１枚表が出る確率」を求めるには 表 表 表 ３枚 表 表 裏 ２枚 表 裏 表 ２枚 表 裏 裏 １枚 裏 表 表 ２枚 裏 表 裏 １枚 裏 裏 表 １枚 裏 裏 裏 ０枚 単純に計算すれば 表が１枚出るのは３通り， 表が２枚出るのは３通り， 表が３枚出るのは1通り， 　　⇒　計７通りとなるが， 表が０枚出るのは１通りだから 　　⇒　８-１＝７通り　で求められる． 　このようにAの確率を直接計算する代わりに， P(A)=1−P(A)で計算した方が簡単なとき，この定理を使う． 　上の例では，Aを「表が１枚以上出る」，Aを「表が出ない(＝０枚)」としているが，逆に使ってもよい：P(A)=1−P(A)

※　余事象の確率は「少なくとも１つ」という言葉と結びついていることが多い． 「少なくとも1つ」(=1以上)の余事象は「0個」になる． ※ 「少なくとも2つ」(=2以上)の余事象は「1以下」 「多くとも４つ」（＝４以下）の余事象は「５以上」 「多くとも５つ」（＝５以下）の余事象は「６以上」 ※ A 以外を表わす記号 A は，集合の記号では「補集合」と呼ばれ，確率では「余事象」と呼ばれる．

■確率の加法定理，余事象の確率 問題１ ［確率の加法定理，一般の加法定理］ (1)　赤玉３個，白玉２個の合計５個の玉が入っている袋から同時に２個取り出すとき，同じ色の玉が出る確率を求めよ． 採点する解説を見るやり直す

(1) 赤赤と出る確率は = 白白と出る確率は = 加法定理により +== …（答） →解説を隠す←

(2)　100以上200未満の整数が書かれた100枚のカードから１枚を取り出すとき，書かれた数字が３または５で割り切れる確率を求めよ． 採点する解説を見るやり直す

(2) ３で割り切れるのは {3n|34≦n≦66} の３３通り ５で割り切れるのは {5n|20≦n≦39} の２０通り １５で割り切れるのは {15n|7≦n≦13} の７通り == …（答） →解説を隠す←

(3)　赤玉２個，白玉２個計４個が入っている袋から玉を取りだして順に並べるとき，同じ色の玉は隣り合わない確率を求めよ．（下のボタンでまとめて採点） （ややむずかしい） 　また，赤玉２個，白玉２個，黄玉２個計６個が入っている袋から玉を取りだして順に並べるとき，同じ色の玉は隣り合わない確率を求めよ． 採点する解説を見るやり直す

(3)　並べ方の総数は N=4!=24 通りで，どの場合も同様に確からしい． 余事象：隣り合う場合の数を調べる ア）赤玉が隣り合う並べ方は，赤セット１+白玉２個＝３つの並べ方×赤玉の内部交換　　3!·2!=12 通り イ）白玉が隣り合う並べ方は，白セット１+赤玉２個＝３つの並べ方×白玉の内部交換　　3!·2!=12 通り ウ）赤玉も白玉も隣り合う並べ方は，白セット１+赤セット1＝２つの並べ方×各々の内部交換　　2!·2!·2!=8 通り 一般の加法定理により　p== 通り 余事象を考えると　p= …（答） 赤玉２個，白玉２個，黄玉２個計６個の場合も同様にして， ______n(A∪B∪C)=n(A)+n(B)+n(C) _________−n(A∩B)−n(B∩C)−n(C∩A)+n(A∩B∩C) で計算する． ６個の玉の並べ方の総数は N=6!=720 通り ア）赤玉が隣り合う並べ方は 5!·2!=240 通り イ）白玉が隣り合う並べ方は 5!·2!=240 通り ウ）黄玉が隣り合う並べ方は 5!·2!=240 通り エ）赤玉と白玉が各々隣り合う並べ方は 4!·2!·2!=96 通り オ）白玉と黄玉が各々隣り合う並べ方は 4!·2!·2!=96 通り カ）黄玉と赤玉が各々隣り合う並べ方は 4!·2!·2!=96 通り キ）３色とも各々隣り合う並べ方は 3!·2!·2!·2!=48 通り ア）～キ）より，どの色も隣り合わない並べ方は 720−(240+240+240−96−96−96+48)=240 通り p== →解説を隠す←

問題２ ［余事象の確率］ (1)　10本のくじの中に当たりくじが２本入っている．この中から同時に３本のくじを引いたとき，少なくとも１本が当たりくじである確率を求めよ． 採点する解説を見るやり直す

(1) ３本ともはずれとなる確率は == 少なくとも１本当たる確率は 1−= …（答） →解説を隠す←

(2)　３個のさいころを同時に投げたとき，少なくとも１つ６の目が出る確率を求めよ． 採点する解説を見るやり直す

(2) ３本とも６以外となる確率は ()3= 少なくとも１つ６の目が出る確率は 1−= …（答） →解説を隠す←

(3)　赤玉６個白玉４個の計10個の玉が入っている袋から同時に３個の玉を取り出すとき，赤玉が少なくとも２個出てくる確率を求めよ． 採点する解説を見るやり直す

(3) 赤玉が出ない確率は == 赤玉１個白玉２個の確率は == 余事象の確率を考えると 1−−= …（答） （※赤玉が２個，３個となる確率を直接求めてもよい： +=+=） →解説を隠す←

(4)　５枚の硬貨を同時に投げるとき，表の出る枚数が４枚以下となる確率を求めよ． 採点する解説を見るやり直す

(4) 表が５枚出る確率は ()5= 余事象の確率を考えると 1−= …（答） →解説を隠す←

(5)　赤玉３個，白玉３個，黄玉２個の計８個の玉が袋に入っている．この中から同時に３個取り出すとき，出た玉の色が２色となる確率を求めよ． 採点する解説を見るやり直す

(5) １色となるとき 　　ア）赤３個となるとき = 　　イ）白３個となるとき = ３色となるとき = 余事象の確率を考えると1−(++)==…（答） →解説を隠す←