高校数学・確率

条件付き確率（入試問題）

♪♥ このページは，元の教材「高校数学の基本問題」の「条件付き確率（入試問題）」について，サーバ・トラブル等に備えてバックアップ・ファイルとして作成したものです．
♫♣ ただし，学習の記録は付いていません．

※このページは,PC用です．スマホでは画面の右半分が見えていない場合がありますので，了解願います

== 条件付き確率（入試問題） ==

【目次】 • 順列，組合せ，確率（共通,センター問題）
• 確率の基本
• 確率の加法定理
• 確率の乗法定理
• 独立な試行の確率，反復試行の確率
• 条件付き確率
• 期待値
• 反復試行の確率（入試問題）
• 確率の計算（入試問題）
• 条件付き確率（入試問題）
• ベイズの定理
• 確率，センター試験問題(2000-2008)

【確率の定義】
　全事象のどの要素が起こることも「同様に確からしい」とき，事象 $A$ の起こる確率 $P(A)$ は，「全体に対する部分の比」で定義される．

集合の要素の個数が分かっているとき

全体集合 $U$ の要素の個数を $n(U)$ ，集合 $A$ の要素の個数を $n(A)$ で表わすとき，確率は全体に対する比になる

$P(A)=\frac{n(A)}{n(U)}$ ･･･(1)

【条件付き確率の定義】
　事象 $A$ が起こったときに事象 $B$ が起こる確率(事象 $A$ が起こったことが分かっているときに，事象 $B$ が起こる確率)，すなわち，条件付き確率 $P_A(B)$ は，「 $A$ の部分（次の図の赤線の枠）に対する比」で定義される．

$P_A(B)=\frac{n(A\cap B)}{n(A)}$ ･･･(2)
　(2)の分子分母をn(U)で割って，(1)を使って変形し，次の形で使うことも多い．
$P_A(B)=\frac{p(A\cap B)}{p(A)}$ ･･･(3)

※条件付き確率 $P_A(B)$ の定義において， $B$ であっても $A$ でない部分（上の図の×印の部分）は，分母にも分子に入らないことに注意．
※条件付き確率 $P_A(B)$ を文章で表す場合には「 $A$ であることが分かっているときの $B$ が起こる確率」「 $A$ が起こったときに $B$ が起こる確率」というような言い回しをする．
• 単に「 $A$ かつ $B$ が起こる確率」といえば
$P(A\cap B)=\frac{n(A\cap B)}{n(U)}$
という「積事象」 $A\cap B$ の確率を表し（分母が全事象Uの要素数n(U)になる），条件付き確率にはならない．

==サイコロの確率==

【問題1】★☆☆
　1つのサイコロを続けて2回振ったときに，1回目の出る目をa，2回目に出る目をbとする．

(ⅰ)　事象\|a−b\|<5の起こる確率は	ア
	イ

である．

(ⅱ)　事象a<5が起こったときに，事象|a−b|<5の

起こる確率は	ウ
	エ

である．

（2014年度明治大政経学部）

［解説を読む］

（個数の比で考える場合の答案）
(ⅰ)

$a\backslash b$	1	2	3	4	5	6
1						$\times$
2
3
4
5
6	$\times$

　右図の $\times$ 印以外は|a−b|<5に該当する

　確率は $\frac{34}{36}=\frac{17}{18}$
(ⅱ)
　a<5を満たすのは，右図の赤枠の内部：24個
　そのうちで，|a−b|<5を満たすのは，23個

　確率は $\frac{23}{24}$
→解説を隠す←

【問題2】★☆☆
一般に，事象Aの確率をP(A)で表す．また，事象Aの余事象を $\bar{A}$ と表し，二つの事象A, Bの積事象をA∩Bと表す．
大小２個のさいころを同時に投げる試行において

Aを「大きいさいころについて，4の目が出る」という事象

Bを「２個のさいころについて，目の和が7である」という事象

Cを「２個のさいころについて，目の和が9である」という事象

とする．
(1)　事象A, B, Cの確率は，それぞれ

P(A)=	ア
	イ

，P(B)=	ウ
	エ

，P(C)=	オ
	カ

である．
(2)　事象Cが起こったときの事象Aが起こる条件付き

確率は	キ
	ク

であり，事象Aが起こったときの事象Cが

起こる条件付き確率は	ケ
	コ

である．

(3)(4)　略

（2018年度センター試験）

［解説を読む］

（個数の比で考える場合の答案）

(1)
　起こり得るすべての場合の数はn(U)=36
　事象Aの場合の数はn(A)=6
　事象Aが起こる確率は
$P(A)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$ ･･･（答）
同様にして
$P(B)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$ ･･･（答）
$P(C)=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$ ･･･（答）
(2)
　事象Cが起こったとき（=目の和が9であるとき），事象Aが起こる（=大の目が4である）条件付き確率は
$P_C(A)=\frac{1}{4}$ ･･･（答）
　事象Aが起こったとき（=大の目が4である），事象Cが起こる（=目の和が9であるとき）条件付き確率は
$P_A(C)=\frac{1}{6}$ ･･･（答）
→解説を隠す←

【問題3】★☆☆
　1から6までの目が等しい確率で出るさいころを２回投げる．１回目に出た目をm，２回目に出た目をnとする．
(ⅰ)　略
(ⅱ)　mが1≦m≦4を満たすとき，9≦m+n≦11と

なる条件つき確率は	ウ
	エ

である．

（2016年度上智大法学部･経済学部）

［解説を読む］

（個数の比で考える場合の答案）

m\|n	1	2	3	4	5	6
1
2
3						9
4					9	10
5				9	10	11
6			9	10	11	12

　1≦m≦4を満たすのは，上の表において水色の背景色で示した箇所：24個
　その中で，9≦m+n≦11となるのは：3個
　　 $\frac{3}{24}=\frac{1}{8}$ ･･･（答）
→解説を隠す←

【問題4】★★☆
　3つのサイコロを同時に投げたとき，すべて異なる目が出る事象をA，3つのサイコロのうち少なくとも1つは1の目である事象をBとする．
(1)～(4) 略
(5) 事象Bが起こったときの事象Aの起こる条件付き確率はである．

（2000年度東京理科大薬学部）

［解説を読む］

事象Bの余事象は，1の目が1つも出ないことであるから，その確率は
$\frac{5^3}{6^3}$
余事象の定理により
$P(B)=1-\frac{5^3}{6^3}=\frac{91}{216}$
2～6から2つ選び（ $_5C_2$ ），これと1で合計3個の異なる数を並べる方法は， $_5C_2\times 3!$ だから，事象 $A\cap B$ が起こる確率は
$P(A\cap B)=\frac{_5C_2\times 3!}{6^3}=\frac{8}{18}$
$P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{5}{18}\div\frac{91}{216}=\frac{60}{91}$ ･･･（答）
→解説を隠す←

【反復試行の確率】

　1回の試行で事象Aの起こる確率をpとすると，この試行をn回繰り返すとき，Aがr回起こる確率は
$_nC_rp^r(1-p)^{n-r}$

【問題5】★★☆
　座標平面上を動く点Pが原点の位置にある．１個のさいころを投げて，１または２の目が出たときには，Pはx軸の正の向きに１だけ進み，他の目が出たときには，Pはy軸の正の向きに２だけ進むことにして，さいころを３回投げる．点Pの座標が(2, 2)である確率は(ス)であり，Pと原点との距離が3以上である確率は(セ)である．Pと原点との距離が3以上という条件の下で，Pが座標軸上にない条件付き確率は(ソ)である．

（2021年度慶應義塾大看護医療学部）

［解説を読む］

　原点から右図のイ(2, 2)に達するルートは３種類あり，その確率の小計は
$_3C_2(\frac{1}{3})^2(\frac{2}{3})^{1}=3\times\frac{1}{9}\times\frac{2}{3}=\frac{2}{9}$ →(ス)
　Pと原点との距離が3以上となるのは，右図のイ以外の場合で，その確率は余事象の定理から計算できる
$1-\frac{2}{9}=\frac{7}{9}$ →(セ)
　イ以外，すなわちアウエのうちで，Pが座標軸上にないのはウの場合
ウとなる確率は
$_3C_1(\frac{1}{3})^1(\frac{2}{3})^{2}=\frac{4}{9}$
求める条件付確率は
$\frac{\frac{4}{9}}{\frac{7}{9}}=\frac{4}{7}$ →(ソ) →解説を隠す←

【問題6】★☆☆
　コインを繰り返し８回投げ，n回目（1≦n≦8）が表なら1を，裏なら0をn桁目とする10進数Nをつくる．このとき，Nが8桁の数である確率を求めよ．また，Nが8桁の数であるとき，それが3の倍数である条件付き確率を求めよ．

（2021年度東京都市大理工学部）

［解説を読む］

第8桁が0でなければ（1であれば）Nは8桁の数になる
$p=\frac{1}{2}$ ･･･（答）
各位の数の和が3の倍数であるとき，Nは3の倍数になるから，第8桁がであるとき，残り7桁の内で2個もしくは5個が1であれば，Nは3の倍数になる
$p=\frac{_7C_2+ _7C_51}{2^7}=\frac{42}{128}=\frac{21}{64}$ ･･･（答）
→解説を隠す←

==赤玉，白玉の問題==

【問題7】★☆☆
　箱の中に，赤玉が5個，青玉が4個，白玉が3個入っている．それぞれの玉の大きさは同じで，1個あたりの重さは，赤玉が100g，青玉が45g，白玉が30gである．このとき以下の問いに答えよ．ただし，取り出した玉は重さを量ったあとで，箱の中にもどすものとする．

(1)

　無作為に箱から玉を1個取り出して空の袋に入れ，重さを量ったとする．このとき袋の中身の重さが40g以上であるという条件のもとで，袋の中身が赤玉である確率を求めよ．

(2)

　無作為に箱から玉を2個取り出して空の袋に入れ，重さを量ったとする．このとき袋の中身の重さが100g以上であるという条件のもとで，袋の中身が2個とも赤玉である確率を求めよ．

(3)

　無作為に箱から玉を3個取り出して空の袋に入れ，重さを量ったとする．このとき袋の中身の重さが150g以上であるという条件のもとで，袋の中身が3個とも赤玉である確率を求めよ．

（2014年度九州大工学部）

［解説を読む］

(1)　1個の重さが40g以上となるのは，赤玉と青玉だから
$\frac{5}{9}$ ･･･（答）
(2)　2個の重さが100g以上となるのは
ア) 赤玉2個の場合
$n_1=_5C_2=10$
イ) 赤玉1個と青玉1個の場合
$n_2=_5C_1\times _4C_1=20$
ウ) 赤玉1個と白玉1個の場合
$n_3=_5C_1\times _3C_1=15$

以上から
$\frac{n_1}{n_1+ n_2+ n_3}=\frac{10}{45}=\frac{2}{9}$ ･･･（答）
(3)　3個の重さが150g以上となるのは

余事象から求めてもよい
3個とる方法は全部で
$_{12}C_3=220$ 通り
該当しない組は，青と白だけの組
$_{7}C_3=35$ 通り
確率は
$1-\frac{35}{220}=\frac{2}{37}$

ア) 赤玉3個の場合
$n_1=_5C_3=10$
イ) 赤玉2個,青玉1個の場合
$n_2=_5C_2\times _4C_1=40$
ウ) 赤玉2個,白玉1個の場合
$n_3=_5C_2\times _3C_1=30$
エ) 赤玉1個,青玉2個の場合
$n_4=_5C_1\times _4C_2=30$
オ) 赤玉1個,青玉1個,白玉1個の場合
$n_5=_5C_1\times _4C_1\times _3C_1=60$
カ) 赤玉1個,白玉2個の場合
$n_6=_5C_1\times _3C_2=15$
以上から
$\frac{n_1}{n_1+ n_2+ n_3+ n_4+ n_5}=\frac{10}{185}=\frac{2}{37}$ ･･･（答）
→解説を隠す←

【問題8】★★☆
　袋がひとつあり，はじめに赤玉3個と白玉3個が入っている．このとき，以下の操作(＊)を考える．

(＊)

袋からひとつの玉を取り出して色を確認した後，その玉は袋に戻さず，別に用意してある白玉をひとつ袋に入れる．

次の問いに答えよ．
(1) 操作(＊)を2回行ったとき，2回目に取り出した玉が赤玉である確率を求めよ．
(2) 操作(＊)を3回行ったとき，2回目までに取り出した赤玉が1個以上であるという条件のもとで，3回目に取り出した玉が赤玉である条件付き確率を求めよ．
(3) 操作(＊)を4回行ったとき，4回目に取り出した玉が赤玉であるという条件のもとで，3回目までに取り出した赤玉が2個以上である条件付き確率を求めよ．

（2018年度横浜国立大理工学部）

［解説を読む］

　　赤玉3個： $\bullet$ $\bullet$ $\bullet$
　　白玉3個：○○○
からスタートして，赤玉が出たら赤玉が1つ減り，白玉が1つ増える．
白玉が出たときは，赤白の数は変わらない．

(1)
赤赤と出る場合
$\frac{3}{6}\times\frac{2}{6}=\frac{1}{6}$
白赤と出る場合
$\frac{3}{6}\times\frac{3}{6}=\frac{1}{4}$
排反事象の加法定理により
$\frac{1}{6}+\frac{1}{4}=\frac{5}{12}$ ･･･（答）

(2)
2回目までに取り出した赤玉が1個以上(A)，かつ，3回目に取り出した玉が赤玉(B)である確率:P(A∩B)

ア）赤赤|赤
$\frac{3}{6}\times\frac{2}{6}\times\frac{1}{6}=\frac{1}{36}$
イ）赤白|赤
$\frac{3}{6}\times\frac{4}{6}\times\frac{2}{6}=\frac{1}{9}$
ウ）白赤|赤
$\frac{3}{6}\times\frac{3}{6}\times\frac{2}{6}=\frac{1}{12}$
排反事象の加法定理により
$P(A\cap B)=\frac{1+ 4+ 3}{36}=\frac{8}{36}=\frac{2}{9}$

ア’）赤赤
$\frac{3}{6}\times\frac{2}{6}=\frac{1}{6}$
イ’）赤白
$\frac{3}{6}\times\frac{4}{6}=\frac{1}{3}$
ウ’）白赤
$\frac{3}{6}\times\frac{3}{6}=\frac{1}{4}$
排反事象の加法定理により
$P(A)=\frac{2+ 4+ 3}{12}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$

求める条件付き確率は
$P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{2}{9}\times\frac{4}{3}=\frac{8}{27}$ ･･･（答）

(3)

(1)(2)と同様に「ていねいに計算すれば」(3)もできるはずであるが，150分で5題=大1問当たり30分の時間配分では，厳しい?!

※4回目に赤を出すには「3回目までに赤が3個出てはいけないこと」に注意

4回目に取り出した玉が赤玉であって(C)，かつ，3回目までに取り出した赤玉が2個以上である(D)確率

ア）赤赤白|赤
$\frac{3}{6}\times\frac{2}{6}\times\frac{5}{6}\times\frac{1}{6}=\frac{5}{6^3}$
イ）赤白赤|赤
$\frac{3}{6}\times\frac{4}{6}\times\frac{2}{6}\times\frac{1}{6}=\frac{4}{6^3}$
ウ）白赤赤|赤
$\frac{3}{6}\times\frac{3}{6}\times\frac{2}{6}\times\frac{1}{6}=\frac{3}{6^3}$
エ）赤白白|赤
$\frac{3}{6}\times\frac{4}{6}\times\frac{4}{6}\times\frac{2}{6}=\frac{16}{6^3}$
オ）白赤白|赤
$\frac{3}{6}\times\frac{3}{6}\times\frac{4}{6}\times\frac{2}{6}=\frac{12}{6^3}$
カ）白白赤|赤
$\frac{3}{6}\times\frac{3}{6}\times\frac{3}{6}\times\frac{2}{6}=\frac{9}{6^3}$
キ）白白白|赤
$\frac{3}{6}\times\frac{3}{6}\times\frac{3}{6}\times\frac{3}{6}=\frac{1}{16}$
排反事象の加法定理により
$P(C)=\frac{49}{6^3}+\frac{1}{16}=\frac{125}{432}$

ア’）赤赤白|赤
$\frac{3}{6}\times\frac{2}{6}\times\frac{5}{6}\times\frac{1}{6}=\frac{5}{6^3}$
イ’）赤白赤|赤
$\frac{3}{6}\times\frac{4}{6}\times\frac{2}{6}\times\frac{1}{6}=\frac{4}{6^3}$
ウ’）白赤赤|赤
$\frac{3}{6}\times\frac{3}{6}\times\frac{2}{6}\times\frac{1}{6}=\frac{3}{6^3}$
排反事象の加法定理により
$P(C\cap D)=\frac{12}{216}=\frac{1}{18}$

求める条件付き確率は
$P_C(D)=\frac{P(C\cap D)}{P(C)}=\frac{1}{18}\times\frac{432}{125}=\frac{24}{125}$ ･･･（答）
→解説を隠す←

【問題9】★★☆
（一部引用）
　赤玉3個，黒玉5個，白玉7個が入った袋から3個の玉を同時に取り出す．赤玉，黒玉，白玉が1個ずつ取り出され

る確率は	セ	である．取り出された玉の色が2種類で
	ソタ

あったとき，その中に赤玉が2個入っている確率は

チ	である．
ツテ

（2021年度杏林大医学部）

［解説を読む］

　合計15個の玉から3個の玉を取り出す組み合わせは $_{15}C_3=455$ 通り．
　赤玉，黒玉，白玉が1個ずつ取り出される組み合せは $_{3}C_1\times _5C_1\times _7C_1=105$ 通り．
　確率は
$\frac{_{3}C_1\times _5C_1\times _7C_1}{_{15}C_3}=\frac{3\times 5\times 7}{455}=\frac{3}{13}$

　取り出された玉の色が1種類となる組合せは
$_{3}C_3\times _5C_3\times _7C_3=46$ 通りだから，取り出された玉の色が2種類となる組合せは $455-(46+ 105)=304$ 通り
　取り出された玉の色が2種類であったとき，その中に赤玉が2個入っているのは，
ア）赤2個，黒1個の場合
$_3C_2\time _5C_1=15$ 通り
イ）赤2個，白1個の場合
$_3C_2\time _7C_1=21$ 通り
求める条件付き確率は
$\frac{15+ 21}{304}=\frac{36}{304}=\frac{9}{76}$
→解説を隠す←

【問題10】★★★
　二つの袋Ａ，Ｂと１つの箱がある．Ａの袋には赤球2個と白球1個が入っており，Ｂの袋には赤球3個と白球1個が入っている．また，箱には何も入っていない．
(1) Ａ，Ｂの袋から球をそれぞれ1個ずつ同時に取り出し，球の色を調べずに箱に入れる．
　(ⅰ) 箱の中の2個の球のうち少なくとも1個が赤球であ

る確率は	アイ	である．
	ウエ

　(ⅱ) 箱の中をよくかき混ぜてから球を1個取り出すと

き，取り出した球が赤球である確率は	オカ	であり，
	キク

取り出した球が赤球であったときに，それがＢの袋に入

っていたものである条件付き確率は	ケ	である．
	コサ

(2) Ａ，Ｂの袋から球をそれぞれ2個ずつ同時に取り出し，球の色を調べずに箱に入れる．
　(ⅰ) 箱の中の4個の球のうち，ちょうど2個が赤球であ

る確率は	シ	である．また，箱の中の4個の球のうち，
	ス

ちょうど3個が赤球である確率は	セ	である．
	ソ

　(ⅱ) 箱の中をよくかき混ぜてから球を2個同時に取り

出すとき，どちらの球も赤球である確率は	タチ	である.
	ツテ

また，取り出した2個の球がどちらも赤球であったときに，それらのうちの1個のみがＢの袋に入っていたもの

である条件付き確率は	トナ	である.
	ニヌ

（2021年度共通テスト）

［解説を読む］

(1)(ⅰ)
2球とも白球である場合の余事象の確率を求めると
$1-\frac{1}{3}\times\frac{1}{4}=\frac{11}{12}$ ･･･（答）→アイ/ウエ
(ⅱ)
ア） A:白球1個，B:赤球1個から赤球を取り出す確率は
$\frac{1}{3}\times\frac{3}{4}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$
イ） A:赤球1個，B:白球1個から赤球を取り出す確率は
$\frac{2}{3}\times\frac{1}{4}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{12}$
ウ） A:赤球1個，B:赤球1個から赤球を取り出す確率は
$\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}\times 1=\frac{1}{2}$
アイウ）から排反事象の加法定理を用いると
$\frac{1}{8}+\frac{1}{12}+\frac{1}{2}=\frac{17}{24}$ ･･･（答）→オカ/キク
上記のうちで，赤球がＢから出たものであるのはアの場合，ウでＢの赤球を取り出す場合だから
$\frac{\frac{1}{8}+\frac{1}{4}}{\frac{17}{24}}=\frac{3}{8}\times\frac{24}{17}=\frac{9}{17}$ ･･･（答）→ケ/コサ

(2)(ⅰ)
2個ずつ同時に取り出し，ちょうど2個が赤球となるのは
A:赤球1個と白球1個，B:赤球1個と白球1個となる場合だから
$\frac{2\times 1}{_3C_2}\times\frac{_3C_2\times 1}{_4C_2}=\frac{1}{3}$ ･･･（答）→シ/ス
2個ずつ同時に取り出し，ちょうど3が赤球となるのは
ア）A:赤球2個，B:赤球1個と白球1個となる場合
$\frac{_2C_2}{_3C_2}\times\frac{_3C_1\times 1}{_4C_2}=\frac{1}{3}$
イ）A:赤球1個と白球1個，B:赤球2個となる場合
$\frac{2\times 1}{_3C_2}\times\frac{_3C_2}{_4C_2}=\frac{1}{6}$
アイ）から排反事象の加法定理を用いると
$\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{1}{2}$ ･･･（答）→セ/ソ
(ⅱ)
ア）箱に4個のうち2個赤球が入っていて，その中から2個同時に取り出したとき，赤球が2個出る場合
　A:赤1白1，B:赤1白1→赤2となる確率は
$\frac{2\times 1}{_3C_2}\times\frac{3\times 1}{_4C_2}\times\frac{_2C_2}{_4C_2}=\frac{2}{3}\times\frac{3}{6}\times\frac{1}{6}=\frac{1}{18}$
イ）箱に4個のうち3個赤球が入っていて，その中から2個同時に取り出したとき，赤球が2個出る場合
　A:赤2白1，B:赤1白1→赤2となる確率は
$\frac{_2C_2}{_3C_2}\times\frac{3\times 1}{_4C_2}\times\frac{_3C_2}{_4C_2}=\frac{1}{3}\times\frac{3}{6}\times\frac{3}{6}=\frac{1}{12}$
　A:赤1白1，B:赤2白1→赤2となる確率は
$\frac{2\times 1}{_3C_2}\times\frac{_3C_2}{_4C_2}\times\frac{_3C_2}{_4C_2}=\frac{2}{3}\times\frac{3}{6}\times\frac{3}{6}=\frac{1}{6}$
ウ）箱に4個のうち4個赤球が入っていて，その中から2個同時に取り出したとき，赤球が2個出る場合
　A:赤2，B:赤2→赤2となる確率は
$\frac{_2C_2}{_3C_2}\times\frac{_3C_2}{_4C_2}=\frac{1}{3}\times\frac{3}{6}=\frac{1}{6}$
これらを加えると
$\frac{1}{18}+\frac{1}{12}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{17}{36}$ ･･･（答）→タチ/ツテ

上記のア）～ウ）のうちで，それらのうちの1個のみがＢの袋に入っていたものである確率を求める

ア）は全部該当
$\frac{1}{18}$
イ）
$\frac{_2C_2}{_3C_2}\times\frac{3\times 1}{_4C_2}\times\frac{2\times 1}{_4C_2}=\frac{1}{3}\times\frac{3}{6}\times\frac{2}{6}=\frac{1}{18}$
$\frac{2\times 1}{_3C_2}\times\frac{_3C_2}{_4C_2}\times\frac{1\times 2}{_4C_2}=\frac{2}{3}\times\frac{3}{6}\times\frac{2}{6}=\frac{1}{9}$
ウ）
$\frac{_2C_2}{_3C_2}\times\frac{_3C_2}{_4C_2}\times\frac{2\times 2}{_4C_2}=\frac{1}{9}$
これらを加えると
$\frac{1}{18}+\frac{1}{18}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}=\frac{1}{3}$

• ていねいに計算すれば，正解にたどり着けるが，
　70分で4題≒1題当たり約18分でこの問題を解くことは，結構厳しいかも！

よって，条件付き確率は
$\frac{\frac{1}{3}}{\frac{17}{36}}=\frac{1}{3}\times\frac{36}{17}=\frac{12}{17}$ ･･･（答）→トナ/ニヌ
→解説を隠す←

==くじ引き・不良品の問題==

【問題11】★★☆
　当たりくじ5本を含む13本のくじがあり．このくじを，A, B, C, Dの4人がこの順に1本ずつ引くとし，引いたくじはもとに戻さないとする．このとき，以下の確率を既約分数で求めよ．
(ⅰ)　4人のうち少なくとも1人が当たる確率P1
(ⅱ)　4人のうち少なくとも2人が当たる確率P2
(ⅲ)　4人のうち少なくとも1人が当たりくじを引いたとわかっているとき，Dが当たる条件付き確率P3

（2016年度大阪府立大工学部）

［解説を読む］

(ⅰ)

余事象の方が計算しやすいとき
P(少なくとも1人が当たる)=1−P(全員外れる)

全員外れる確率は
$\frac{8}{13}\times\frac{7}{12}\times\frac{6}{11}\times\frac{5}{10}=\frac{14}{143}$
余事象の確率により，少なくとも1人当たる確率は
$P_1=1-\frac{14}{143}=\frac{129}{143}$ ･･･（答）
(ⅱ)

余事象の方が計算しやすいとき
P(少なくとも2人が当たる)
=1−{P(全員外れる)+P(1人だけ当たる)}

上記のように，全員外れる確率は， $\frac{14}{143}$
１人だけ当たる確率は
Aだけ当たる： $\frac{5}{13}\times\frac{8}{12}\times\frac{7}{11}\times\frac{6}{10}$
Bだけ当たる： $\frac{8}{13}\times\frac{5}{12}\times\frac{7}{11}\times\frac{6}{10}$
Cだけ当たる： $\frac{8}{13}\times\frac{7}{12}\times\frac{5}{11}\times\frac{6}{10}$
Dだけ当たる： $\frac{8}{13}\times\frac{7}{12}\times\frac{6}{11}\times\frac{5}{10}$
合計で
$\frac{8\times 7\times 6\times 5}{13\times 12\times 11\times 10}=\frac{56}{143}$
結局
$P_3=1-(\frac{14}{143}-\frac{56}{143})=\frac{73}{143}$ ･･･（答）
(ⅲ)

非復元試行の場合に，Dが当たる確率は，順序に依存しないことは通常教科書に書かれており，その結果を使ってもよい

• Dが当たる確率は $\frac{5}{13}$
• 少なくとも1人当たる確率は，(ⅰ)の結果から， $\frac{129}{143}$
• $P_3=\frac{5}{13}\div\frac{129}{143}=\frac{55}{129}$ ･･･（答）
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【問題12】★☆☆
　ある製品を製造する４つの機械X, Y, Z, Wがあり，Xの製品には1%，Yの製品には2%，Zの製品には1%，Wの製品には2%の不良品がそれぞれ含まれている．Xの製品200個とYの製品300個とZの製品300個とWの製品200個を混ぜた中から１個を選び出す．選び出された製品が不良品であったときに，それが機械Wの製品である確率はキである．

（2016年度産業医科大）

［解説を読む］

　不良品である事象をB(=Bad)で，Wの製品である事象をWで表すことにする．また，1000個の製品はどれも同じ確からしさで選ばれるものとする．

（個数の比で考える場合の答案）
　不良品の総数は

n(B)=200×0.01+300×0.02

+300×0.01+200×0.02=15

　Wの製品，かつ，不良品の総数は

n(W∩B)=200×0.02=4

　求める条件付き確率は
$P_B(W)=\frac{n(B\cap W)}{n(B)}=\frac{4}{15}$ ･･･（答）

（確率の比で考える場合の答案）
　不良品が出る確率は

$P(B)=\frac{200\times 0.01+ 300\times 0.02+ 300\times 0.01+ 200\times 0.02}{1000}$
=0.015

　Wの製品，かつ，不良品である確率は

$P_W(B)=P(W)P_W(B)=\frac{200}{1000}\times 0.02=0.004$

　求める条件付き確率は
$P_B(W)=\frac{P(B\cap W)}{P(B)}=\frac{0.004}{0.015}=\frac{4}{15}$ ･･･（答） →解説を隠す←

【問題13】★★★
　ある臓器にできる腫瘍しゅようXは悪性と良性の２つの型に分けられ，同時に両方の型であることはない．実際に，Xである人とない人の割合は3%と97%であり，Xがある人のうち，悪性の人と良性の人の割合は1:2である．そして，腫瘍Xがあるかないかを調べる検査Yについて，次の事が知られている．

(ⅰ) 悪性のXがある人にYが用いられると，95%の確率でXがあると判定される．
(ⅱ) 良性のXがある人にYが用いられると，80%の確率でXがあると判定される．
(ⅲ) Xがない人にYが用いられると，90%の確率でXがないと正しく判定される．

ある人が，この検査Yを受けることになった．このとき，次の確率を求めよ．

(1) この人にXがあると判定される確率
(2) Xがあると判定されたとき，悪性のXが実際にある確率
(3) 悪性のXが実際にないとき，Xがないと判定される確率

（2018年度旭川医科大）

［解説を読む］

Yによって，Xがあると判定される確率は
　悪性のXがある人→0.95
　良性のXがある人→0.80
　Xがない人→0.10
であるから
(1)　Xがあると判定される確率は

0.01×0.95+0.02×0.8+0.97×0.1=0.1225= $\frac{49}{400}$ (答)
(2)　Xがあると判定されたとき，悪性のXが実際にある（条件付き）確率は
　 $\frac{0.0095}{0.1225}=\frac{19}{245}$ ･･･(答)
(3)
• 良性であってXがないと判定される確率は，
0.02×0.2=0.004
• Xがない人がXがないと判定される確率は，
0.97×0.9=0.873
• 悪性のXがない確率は，
0.004+0.873=0.877
　 $\frac{0.877}{0.99}=\frac{877}{990}$ ･･･(答)
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==原因の確率==

【問題14】★☆☆
　Aの袋には白玉2個，赤玉4個の計6個の玉が，Bの袋には白玉，赤玉ともに3個ずつの計6個の玉が入っている．２つの袋A，Bのうちどちらかを選び，その袋から玉を１個取り出す．取り出した玉が白玉であったとき，選んだ袋がAであった確率はいくらか．

(1) $\frac{1}{5}$

(2) $\frac{2}{5}$

(3) $\frac{3}{5}$

(4) $\frac{4}{5}$

(5) 上の４つの答えはどれも正しくない.

（2018年度防衛医科大学校）

［解説を読む］

　玉を取り出したとき白玉が出るという事象をW，Aから取り出された事象をAで表すとき
　白玉が出る確率は
$P(W)=P_A(W)+ P_B(W)$
$=\frac{1}{2}\times\frac{2}{6}+\frac{1}{2}\times\frac{3}{6}=\frac{5}{12}$
　Aから取り出されて，かつ白玉である確率は
$P(A\cap W)=\frac{1}{2}\times\frac{2}{6}=\frac{1}{6}$
　求める確率は
$P_W(A)=\frac{P(A\cap W)}{P(W)}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{5}{12}}=\frac{2}{5}$ →(2)･･･（答） →解説を隠す←

【問題15】★☆☆
　赤球6個，白球4個が入った袋Aが２つと，赤球4個，白球6個が入った袋Bが１つある．これら3つの袋から無作為に1つの袋を選び，その袋の中から3個の球を取り出したとき，赤球2個，白球1個であった．このとき，選んだ袋がAであった確率は次のどれか．

(a) $\frac{1}{2}$

(b) $\frac{2}{3}$

(d) $\frac{3}{5}$

(e) $\frac{5}{8}$

(f) $\frac{10}{13}$

(g) $\frac{8}{15}$

(h) 以上のどれでもない.

（2018年度防衛大学校）

［解説を読む］

3個の球を取り出したとき，赤球2個と白球1個が出て来る確率は
$\frac{1}{3}\times\frac{_6C_2\times _4C_1}{_{10}C_3}\times 2+\frac{1}{3}\times\frac{_4C_2\times _6C_1}{_{10}C_3}$
$=\frac{1}{3}\times\frac{15\times 4}{120}\times 2+\frac{1}{3}\times\frac{6\times 6}{120}$
$=\frac{1}{3}\times\frac{15\times 4}{120}\times 2+\frac{1}{3}\times\frac{6\times 6}{120}$
$=\frac{1}{3}+\frac{1}{10}=\frac{13}{30}$
そのうちで，Aの袋2つから出て来る確率は
$\frac{1}{3}$
求める条件付き確率は
$\frac{1}{3}\div\frac{13}{30}=\frac{10}{13}$ →(f)･･･（答）
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