高校数学・確率

♪♥ この教材は，高校数学の基本問題のうち，確率，センター試験問題(2000年～2008年)のバックアップファイルです． ♫♣ 元の教材が機器や通信トラブルで読めないときに，こちらを使ってください．なお，学習の記録は付いていません． ※このページは,PC用です．スマホでは画面の右半分が見えていない場合がありますので，了解願います 【目次】 • 順列，組合せ，確率（共通,センター問題） • 確率の基本 • 確率の加法定理 • 確率の乗法定理 • 独立な試行の確率，反復試行の確率 • 条件付き確率 • 期待値 • 反復試行の確率（入試問題） • 確率の計算（入試問題） • 条件付き確率（入試問題） • ベイズの定理 • 確率，センター試験問題(2000-2008) = 確率，センター試験問題(2000年～2008年) = ※以下の問題において，空欄は半角数字（1バイト文字の数字）で埋めてください．全角アラビア数字（2バイト文字のアラビア数字）で埋めても照合できる場合もありますが，2桁以上の数字を全角半角混合で記入すると必ず×になります． 2000年度センター試験本試験問題[数学I･Ａ]第1問[2] 　東西に延びる道路が南北の道で結ばれている図のような街路がある。ある人が地点Ｐから東に向かって出発し，以下の約束(a)(b)に従い，この街路を進み，地点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄのいずれかに到達するものとする。 (a)　西から分かれ道に至ったときは，さいころを振り，３または６の目が出た場合は東に進み，他の目が出た場合は南北の道へ進むものとする。 (b)　北または南から分かれ道に至ったときには，東へ進むものとする。 (1)　Ａに到達する確率は である。 (2)　Ｄに到達する確率は である。 (3)　ＢまたはＣに到達する確率は である。 (4)　Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄに到達するとき，それぞれ200円，1800円，1800円，900円の賞金を受け取るものとする。このとき，受け取る賞金の期待値は 円である。 採点する解説を見るやり直す

(1) 　 初めの分かれ道で北に進めばよいから，その確率は = 　(2) 　 それぞれの分かれ道で次のように進めばよい。 __________（東）→（南）→（自動的に東）→（南）→（自動的に東） __________その確率は ××= 　(3) 　 ＡまたはＤに到達することの余事象と考える。 __________その確率は 1 - (+)= 　(4) 　　確率分布表は次のようになる。（なお，Ｂ，Ｃは分けてもよいが，賞金が等しいので分けなくてもよい。） 地点 Ａ ＢまたはＣ Ｄ 　 賞金 200 1800 900 計 確率 1 賞金の期待値は E=200· +1800· +900· =600（円） →解説を隠す←

2001年度センター試験本試験問題[数学I･Ａ]第1問[2] 　赤玉３個，青玉２個，黄玉１個が入っている袋から玉を１個取り出し，色を確かめてから袋に戻す。このような試行を最大で３回までくり返す。ただし，赤玉を取り出したときは以後の試行を行わない。 (1)　試行が１回または２回で終わる確率は である。 (2)　試行が１回行われるごとに100円受け取るとする。受け取る金額の期待値は円である。 (3)　青玉がちょうど２回取り出される確率は である。 (4)　黄玉が少なくとも１回取り出される確率は である。 採点する解説を見るやり直す

（･･･センター試験問題の中でもやさしい方･･･） 　(1) 　 試行が１回で終わるのは１回目に赤玉が出るときでその確率は = 　 試行が２回で終わるのは（青玉または黄玉）→（赤玉）の順に出るときでその確率は ×= よって += 回数 1 2 3 　 金額 100 200 300 計 確率 1 (2)　 試行が３回で終わるのは（青玉または黄玉）→（青玉または黄玉）→（何色でもよい）の順に出るときでその確率は ××1= 　確率分布表は右のようになり，期待値は E=100· +200· +300· =175（円） (3)　 青玉がちょうど２回取り出されるのは （青玉）→（青玉）→（赤玉または黄玉）のとき 確率は ××= （黄玉）→（青玉）→（青玉）のとき 確率は ××= （青玉）→（黄玉）→（青玉）のとき 確率は ××= よって ++= (4)　 黄玉が１回も取り出されないのは （赤玉）のとき 確率は （青玉）→（赤玉）のとき 確率は ×= （青玉）→（青玉）→（青玉または赤玉）のとき 確率は ××= よって ++= 余事象の確率は →解説を隠す←

2002年度センター試験本試験問題[数学I･Ａ]第1問[2] 　二つの箱Ａ，Ｂがある。 Ａの箱には，次のように６枚のカードが入っている。 __________０の数字が書かれたカードが１枚 __________１の数字が書かれたカードが２枚 __________２の数字が書かれたカードが３枚 Ｂの箱には，次のように７枚のカードが入っている。 __________０の数字が書かれたカードが４枚 __________１の数字が書かれたカードが１枚 __________２の数字が書かれたカードが２枚 Ａの箱から１枚，Ｂの箱から２枚，あわせて３枚のカードを取り出す。 (1) ３枚のカードに書かれた数がすべて０である確率は である。 (2) ３枚のカードに書かれた数の積が４である確率は である。 (3) ３枚のカードに書かれた数の積が０である確率は である。 (4) ３枚のカードに書かれた数の積の期待値は である。 採点する解説を見るやり直す

(1) 　 Ａから１枚，Ｂから２枚取り出す場合の総数は N=6C1·7C2=126 通り 　 Ａから０，Ｂから０，０と取り出す場合数は n=1C1·4C2=6 通り 確率は = （×= としてもよい。） 　(2)　　数の積が４となるのは __________1 | 2 , 2 となる場合 2C1·2C2=2 通り __________2 | 1 , 2 となる場合 3C1·1C1·2C1=6 通り __________n=2+6=8 通り。確率は = __________（×+× としてもよい。） 　(3)　　数の積が０とならないのは __________5C1·3C2=15 通り。　確率は = __________積が０となるのは，その余事象を考えて 　(4)　　数の積が０，４となる場合は上の通り。数の積は，この他２，８となる場合がある。（1にはならない） 　積が２となるのは　1 | 1 , 2 となる場合で確率は 　　　 ·= 　積が８となるのは　2 | 2 , 2 となる場合で確率は 　　　·= 積 0 2 4 8 計 確率 1 　以上の確率から確率分布表を作ると右の表になり，期待値は E=0· +2· +4· +8· = →解説を隠す←

2003年度センター試験本試験問題[数学I･Ａ]第1問[2] １辺の長さが１の立方体の８個の頂点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ．Ｇ．Ｈが図のような位置関係にあるとする。この８個の頂点から相異なる３個を選び，それらを頂点とする三角形をつくる． (1) 三角形は全部で 個できる。また，互いに合同でない三角形は全部で 種類ある。 (2) △ＡＢＣと合同になる確率は であり， また，正三角形になる確率は である。 (3) 三角形の面積の期待値は ++ である。 採点する解説を見るやり直す

(1) 　 一直線上に並ぶ点はないから相異なる頂点３個を選べば必ず三角形ができる．三角形の総数は 8C3==56 個 　 三辺の長さで三角形を分類すると， _______△ＡＢＤなど→1 , 1 , _______△ＡＢＧなど→1 , , _______△ＡＣＦなど→ , , の 3 種類ある． 　(2) 　 ある頂点が三辺の長さが 1 , 1 , の二等辺三角形の頂点となるものは各々3個ずつあり，頂点が８個あるから合計24個。確率は = 　 １つの頂点例えばＡに対して△ＢＤＥの位置に来る正三角形が１つずつある（例えば△ＣＨＦは頂点Ｇの方から数える。）頂点が８個あるから合計８個。確率は = 　(3) 　 三辺の長さが 1 , , となる三角形は，例えば対角線ＡＧを長さ の辺として使用するものが 　△ＡＢＧ，△ＡＤＧ，△ＡＥＧ，△ＡＣＧ，△ＡＦＧ，△ＡＨＧ　の６通りあり，対角線は４本あるから，合計24個。確率は = _____三辺の長さが 1 , 1 , の三角形の面積は _____三辺の長さが 1 , , の三角形の面積は _____三辺の長さが , , の三角形の面積は 　次のような確率分布表になる． 面積 計 確率 1 期待値は E=· +· +· = →解説を隠す←

2004年度センター試験本試験問題[数学I･Ａ]第1問[2] 　１つのさいころを２回続けて投げ，出た目の数を順に a, b とするとき，u= とおく。 (1)　u=1 である確率は である。 (2)　u>1 である確率は である。 (3)　u が整数になる確率は である。 (4)　T を次で定義する。 u が整数になる場合 u が偶数ならば T=u u が奇数ならば T=1 u が整数にならない場合 T=0 このとき，T の期待値は である。 採点する解説を見るやり直す

公式的なものを考えるよりも，「もれなく重複なく」数え上げると考えるとわかりやすい a,b 1 2 3 4 5 6 1 ○ 　 　 　 　 　 2 △ ○ 　 　 　 　 3 △ △ ○ 　 　 　 4 △ △ △ ○ 　 　 5 △ △ △ △ ○ 　 6 △ △ △ △ △ ○ 　(1) 　u=1 ⇔ a=b となるのは，右図○印のときだから，確率は = 　(2) ___u>1 ⇔ a>b となるのは，右図△印のときだから，確率は = 　(3) ___u が整数となるのは，右図□のときだから，確率は = T 1 2 3 4 5 6 1 1 0 0 0 0 0 2 2 1 0 0 0 0 3 1 0 1 0 0 0 4 4 2 0 1 0 0 5 1 0 0 0 1 0 6 6 1 2 0 0 1 　(4) ___T の値は右表のようになり，これを集計した確率分布表は下のようになる． T 0 1 2 4 6 計 確率 1 　期待値は E=0· +1· +2· +4· +6· = →解説を隠す←

2005年度センター試験本試験問題[数学I･Ａ]第1問[2] 　大小２つのさいころを投げ，出た目の数をそれぞれa, bとし，２次関数y=x2−のグラフをCとする． (1)　グラフCとx軸との共有点の個数が０個である確率（すなわちグラフCとx軸とが共有点をもたない確率）は であり，共有点の個数が１個である確率は ，共有点の個数が２個である確率は である． (2)　グラフCとx軸との共有点の個数の期待値は (3)　グラフCとx軸とが共有点をもち，かつ共有点の x座標がすべて整数となる確率は である。 採点する解説を見るやり直す

（センター試験の問題の中ではやさしい方） 　y=x2− のグラフは右図のようになる． (1) 　　x 軸との共有点の個数が０個となるのは，頂点の y 座標 − が正になるとき． 　　a>0 だから(1)(2)では，b の値だけで考える．(N=6) 　　b<2 → b=1 のとき．確率は 　　x 軸との共有点の個数が１個となるのは，頂点の y 座標 − が０になるとき． b=2 のとき．確率は 　　x 軸との共有点の個数が２個となるのは，頂点の y 座標 − が負になるとき． b>2 → 3≦b≦6 のとき．確率は 個数 0 1 2 計 確率 1 (2)　確率分布表は右のようになり，期待値は 　　E=0·+1·+2·= (3) 　　(3)では a , b の組で場合の数を数えるとよいので，N=6×6=36を総数とする． 　グラフ C と x 軸とが共有点をもつのは，2≦b≦6 のときで，かつ共有点の x 座標 x=± が整数となるのは 　　（ア）　b=2 のとき，a は任意 → ６通り 　　（イ）　b=3 のとき，a=1 → １通り 　　（ウ）　b=4 のとき，a=2 → １通り 　　（エ）　b=5 のとき，a=3 → １通り 　　（オ）　b=6 のとき，x=± が整数となるのは a=1 , 4 → ２通り 　　計１１通りだから確率は →解説を隠す←

2006年度センター試験本試験問題[数学I･Ａ]第4問 　袋Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄがあり，それぞれに４枚のカードが入っている。各袋のカードには，１から４までの番号がつけられている。袋Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄからカードを１枚ずつ取り出し，出た数をそれぞれa, b, c, dとする。 (1)　 a, b, c, dの最大の数が3以下である場合は 通りあり，最大の数が4である場合は 通りある。 (2)　 a, b, c, dについてa<b<cとなる場合は 通りある。 (3)　 出た数a, b, c, dによって，次のように得点を定める。 ____a≦b≦c≦d のときは (d−a+1)点 ____それ以外のときは，0点 (i)　得点が１点となる確率は であり，得点が４点と なる確率は である。 (ii)　得点の期待値は 点である。 採点する解説を見るやり直す

(1)　3以下の目ばかりになるのは　1≦a , b , c, d≦3 のときだから 34=81 通り 　また，最大値が4となるのは 　（4以下の組）−（3以下の組）だから 44−34=256−81=175 通り (2)　《危険な落とし穴： a,b,c は， 1,2,3,4 から3個取ってくる組合わせで決まる（小さい順に a<b<c となる）が，a , b , c, d についてとは･･･？?》 　a,b,c は， 1,2,3,4 から3個取ってくる組合わせで決まるから，その決め方は 4C3=4 通り．そのそれぞれについて d は何でもよいから 4 通り．よって，16 通り (3) 　(i)　d - a=0 すなわち a=b=c=d （全部同じ数）となるのは 4 通りだから，確率は = a b c d 1 1 1 4 1 1 2 4 1 1 3 4 1 1 4 4 1 2 2 4 1 2 3 4 1 2 4 4 1 3 3 4 1 3 4 4 1 4 4 4 　　d - a=3 すなわち a=1≦b≦c≦4=d となるのは，右の10通りだから確率は = （安全確実な上の方法で十分であるが，公式を使うのなら，1～4のうち重複を許して２つの組合わせを選ぶと 小さい順に（等しくてもよい）b≦c となるから 4H2=5C2=10 通りで計算できる．） 　(2)のような増加関数が組合せに対応し，今の非減少関数が重複組合せに対応する． 　　d - a=1 および d - a=2 の確率も求めると，次の表になる．（ P0 は不要） E=== 得点 0 1 2 3 4 計 確率 ?? 1 d−a=1 （得点は2）となるのは，(1,1,1,2),(1,1,2,2),(1,2,2,2),(2,2,2,3), (2,2,3,3),(2,3,3,3),(3,3,3,4),(3,3,4,4), (3,4,4,4) の９通り．（素直に数える方が安全確実） 　「 a,d の数字の組の決め方が 3 通り，各々 b,c の決め方が 2H2=3C2=3 通り．つまり，9通り」としてもよい． d−a=2 （得点は3）となるのは，(1,1,1,3),(1,1,2,3), (1,1,3,3),(1,2,2,3),(1,2,3,3),(1,3,3,3),(2,2,2,4),(2,2,3,4), (2,2,4,4),(2,3,3,4),(2,3,4,4),(2,4,4,4) の12通り．（素直に数える方が安全確実） 　「 a,d の数字の組の決め方が 2 通り，各々 b,c の決め方が 3H2=4C2=6 通り．つまり，12通り」としてもよい． →解説を隠す←

2007年度センター試験本試験問題[数学I･Ａ]第4問 　１辺の長さ１の正六角形があり，その頂点の一つをAとする。一つのさいころを3回投げ，点Pを次の(a)，(b)，(c)にしたがって，この正六角形の辺上を反時計回りに進める。 　(a)　頂点Aから出発して，１回目に出た目の数の長さだけ点Pを進める。 　(b)　1回目で点Pがとまった位置から出発して，2回目に出た目の数の長さだけ点Pを進める。 　(c)　2回目で点Pがとまった位置から出発して，3回目に出た目の数の長さだけ点Pを進める。 (1)　3回進めたとき，点Pが正六角形の辺上を１周して，ちょうど頂点Aに到達する目の出方は 通りである。 　3回進める間に，点 P が１回も頂点 A にとまらない目の出方は 通りである。 (2)　3回進める間に，点Pが3回とも頂点Aにとまる確率 は であり，ちょうど2回だけ頂点Aにとまる確率 は である。 　３回進める間に，点Pがちょうど1回だけ頂点Aにとま る確率は である。 (3)　3回進める間に，点Pが頂点A にとまる回数 の期待値は 回である。 採点する解説を見るやり直す

（１回もＡで止まらない場合かちょうど１回Ａで止まる場合のいずれかを求める必要があるが，その計算が大変） (1)　各回の目の数を x , y , z とおくと，３回で１周してＡに到達するのは x+y+z=6 のとき． x y z 計 1 1 4 6 1 2 3 6 1 3 2 6 1 4 1 6 2 1 3 6 2 2 2 6 2 3 1 6 3 1 2 6 3 2 1 6 4 1 1 6 　右表から 10 通り （別解：x+y+z=6 ,(x , y , z≧1) の解の個数を調べるとよい．x , y , z に１ずつ配っておき，x’+y’+z’=3 ,(x’ , y’ , z’≧0) の解の個数を調べると，重複組合せで求められ，3H3=5C3=10 ） 　３回進めるうちに１回も点Ａに止まらない場合の数を調べる。 　次の表で赤で示した部分（１回目 x=6 のもの及び ２回の合計 x+y=6 , 12 のもの）以外は25通りある． x+y 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 x+y=2 → z は4以外 → 5通り x+y=3 → z は3以外 → 5通り x+y=4 → z は2以外 → 5通り x+y=5 → z は1以外 → 5通り x+y=7 → z は5以外 → 5通り x+y=8 → z は4以外 → 5通り x+y=9 → z は3以外 → 5通り x+y=10 → z は2以外 → 5通り x+y=11 → z は1以外 → 5通り 25×5=125 通り (2)　3回ともＡに止まるのは x=6 , y=6, z=6 の場合だから確率は .= 　　ちょうど2回Ａに止まるのは 　 １回 ２回 ３回 出方 ア ○ ○ × 6,6,1～5→5通り イ ○ × ○ 6,1～5,5～1→5通り ウ × ○ ○ 1～5,5～1,6→5通り 　　確率は = 　　ちょうど1回Ａに止まるのはこれらの余事象を考えて 　1−(++)= (3)　期待値は E=0· +1· +2· +3· = →解説を隠す←

2008年度センター試験本試験問題[数学I･Ａ]第4問 　　さいころを3回投げ，次の規則にしたがって文字の列を作る。ただし，何も書かれていないときや文字が１つだけのときも文字の列と呼ぶことにする。 １回目は次のようにする。 出た目の数が1，2のときは，文字Ａを書く 出た目の数が3，4のときは，文字Ｂを書く 出た目の数が5，6のときは，何も書かない 　2回目，3回目は次のようにする． 出た目の数が1，2のときは，文字の列の右側に文字Ａを１つ付け加える 出た目の数が3，4のときは，文字の列の右側に文字Ｂを１つ付け加える 出た目の数が5，6のときは，いちばん右側の文字を削除する。ただし，何も書かれていないときはそのままにする 　以下の問いでは，さいころを3回投げ終わったときにできる文字の列について考える。 (1)　文字の列がAAAとなるさいころの目の出方は 通りである。 　　　文字の列がＡＢとなるさいころの目の出方は 通りである。 (2)　文字の列がＡとなる確率は であり， 何も書かれていない文字の列となる確率は である。 (3)　文字の列の字数が3となる確率は であり， 字数が2となる確率は である。 また，文字の列の字数の期待値は である。 である。ただし，何も書かれていないときの字数は0とする。 採点する解説を見るやり直す

（公式的なものを考えるよりも，「もれなく重複なく」数え上げると考えるよい） (1) 　ＡＡＡとなるのは，(1または2)，(1または2)，(1または2) のときだから，2×2×2=8 通り 　ＡＢとなるのは，(5または6)，(1または2)，(3または4) のときだから，2×2×2=8 通り (2) 　以下，書き込まれる文字Ａ，Ｂの途中経過も残し，(5または6)による操作を□で表わす． 　文字の列がＡとなるのは，次の場合である． __________□□Ａ __________Ａ□Ａ __________Ｂ□Ａ __________ＡＡ□ __________ＡＢ□ 　確率は ()3×5= 　何も書かれていない文字の列となるのは，次の場合である． __________Ａ□□ __________Ｂ□□ __________□□□ __________□Ａ□ __________□Ｂ□ 　確率は ()3×5= (3) 　3文字となるのは，ＡまたはＢが３回続くときだから 　確率は ()3= 　2文字となるのは，初めが□で2,3回目がＡまたはＢのときだから 　確率は ()()2= 　確率分布表は次のようになる。ただし，字数１の確率はＡとなるとき×2（Ｂとなる確率も同じ） 字数 0 1 2 3 計 確率 1 期待値は E=== →解説を隠す←