高校数学・確率

確率の計算（入試問題）

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【目次】 • 順列，組合せ，確率（共通,センター問題）
• 確率の基本
• 確率の加法定理
• 確率の乗法定理
• 独立な試行の確率，反復試行の確率
• 条件付き確率
• 期待値
• 反復試行の確率（入試問題）
• 確率の計算（入試問題）
• 条件付き確率（入試問題）
• ベイズの定理
• 確率，センター試験問題(2000-2008)

== 確率の計算（入試問題） ==
** サイコロの確率 **
【出た目の和】

【例題1.1】
　３つのサイコロを同時にふるとき，目の和の合計が16以上となる確率は　　である．

（2011年度東北学院大工学部）

　一般にx+y=10, x, y≧1のような整数問題は，重複組合せの考え方で解ける
　　(x−1)+(y−1)=8, x−1, y−1≧0
　xとyの名前を重複を許して８回呼ぶ方法（１回も呼ばれない場合もよいとする）は
　　⇒2H8=9C8=9通り
が，x, yがサイコロの目である場合は，x, y≦6という制限があるので，そのままではサイコロの目の和の問題の解答にならない．

x\|y	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
9	10	11	12	13	14	15	16	17	18

　左表の背景色が赤になっている部分は，実際には取れない値になっている．
　３つのサイコロの目の和の場合もこれと同様に，単に整数問題としてx+y+z=10, x, y, z≧1を解いても，サイコロの目としては
x, y, z≦6という制限を満たさない組が含まれる．

（解答）
　２次元は表にできる．２次元の組合せで３次元も示せる．

x\|y	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10	11
6	7	8	9	10	11	12

　x+y+z=16, 1≦x,y,z≦6となる値の組は，右の表から

• x+y=10, z=6⇒3×1=3通り
• x+y=11, z=5⇒2×1=2通り
• x+y=12, z=6⇒1×1=1通り
小計6通り

　同様にしてx+y+z=17, 1≦x,y,z≦6となる値の組は，右の表から

• x+y=11, z=6⇒2×1=2通り
• x+y=12, z=5⇒1×1=1通り
小計3通り

　同様にしてx+y+z=18, 1≦x,y,z≦6となる値の組は，右の表から

• x+y=12, z=6⇒1×1=1通り
小計1通り

　以上により，合計10通り
　確率は $p=\frac{10}{6^3}=\frac{5}{108}$

【出た目の和】

【例題1.2】
　２つのサイコロを同時にふるとき，出た目の和が7になる確率が最も高い．このことを参考にして，次の問いに答えよ．
(1)　3つのサイコロを同時にふるとき，出た目の和が幾らになる確率が最も高いか．また，その確率を求めよ．
(2)　4つのサイコロを同時にふるとき，出た目の和が幾らになる確率が最も高いか．また，その確率を求めよ．
(3)　5つのサイコロを同時にふるとき，出た目の和が幾らになる確率が最も高いか．また，その確率を求めよ．

（参考問題）

（解答）
　２つのサイコロの目の和は表にできる．

x\|y	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10	11
6	7	8	9	10	11	12

この表は次の形に書いてもよい．

x,y ２個の和	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
場合の数		1	2	3	4	5	6	5	4	3	2	1

$\Updownarrow$ $\Updownarrow$ $\Updownarrow$ $\Updownarrow$ $\Updownarrow$ $\Updownarrow$

z	6	5	4	3	2	1
場合の数	1	1	1	1	1	1

(1)
　例えば，さいころ３つの目の和が8になる場合の数は，xyとzを上の図のように組み合わせるとよいから，1+2+3+4+5+6=21通りある．
　３つの目の和が9になるのは，同様にして，xy２個の和が3,4,5,6,7,8のものにz=6,5,4,3,2,1のものを組み合わせるとよいから，2+3+4+5+6+5=25通りある．

3個の和	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
場合の数	1	3	6	10	15	21	25	27	27	25	21	15	10	6	3	1

　この表から，サイコロ３個の目の和が10または11になる確率が最も高く， $\frac{27}{6^3}=\frac{1}{8}$ になる．
(2)
　同様にして，サイコロ４個の目の和については次の表ができる

4個の和	10	11	12	13	14	15	16	17	18
場合の数	80	104	125	140	146	140	125	104	80

　この表から，サイコロ4個の目の和が14になる確率が最も高く， $\frac{146}{6^4}=\frac{73}{648}$ になる．
(3)
　同様にして，サイコロ5個の目の和については次の表ができる

5個の和	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22
場合の数	420	540	651	735	780	780	735	651	540	420

　この表から，サイコロ5個の目の和が17または18になる確率が最も高く， $\frac{780}{6^5}=\frac{65}{648}$ になる．

【出た目の和】

【類題1.1】
　１個のサイコロを5回ふるとき，目の和が30になる確率をa，目の和が29になる確率をb，目の和が28になる確率をcとする．65·(c−b−a)の値を求めよ．

（2005年度自治医大）

［解答を見る］

（解答）
　サイコロを5回ふったときの目の和なので，一般には準備が大変になるが，目の和が極端に大きい方や小さい方は，予備知識がなくても簡単に数え上げることができる．
1)　目の和が30になる(6+6+6+6+6=30)のは1通り
2)　目の和が29になるのは，5,6,6,6,6を並び替えてできる順列の総数だから， $\frac{5!}{1!4!}=5$ 通り
3)　目の和が28になるのは，5,5,6,6,6; 4,6,6,6,6を並び替えてできる順列の総数だから， $\frac{5!}{2!3!}+\frac{5!}{1!4!}=15$ 通り
以上から， $a=\frac{1}{6^5},\hspace{2}b=\frac{5}{6^5},\hspace{2}c=\frac{15}{6^5}$
$6^5\cdot(c-b-a)=6^5(\frac{15}{6^5}-\frac{5}{6^5}-\frac{1}{6^5})=9$
→解答を隠す←

【出た目の最大値・最小値】

【例題1.3】
　3つのサイコロを同時に振るとき，出る目の数の最大値が4になる確率を求めよ．

（2000年度東京水産大）

　出る目は４以下でなければならないが，実際に４という目が出ている必要がある．
　このためには，
(4以下の目が出る確率)−(3以下の目が出る確率)

を求めるとよい

（解答）
　3つのサイコロを同時に振るとき，目の出方は全部で $N=6^3=216$ 通り
　そのうちで，4以下の目が出る出方は $4^3=64$ 通り
　さらに，3以下の目が出る出方は $3^3=27$ 通り
　従って，出る目の最大値が4となる出方は $n=64-27=37$ 通り
　確率は $p=\frac{n}{N}=\frac{37}{216}$

【出た目の最大値・最小値】

【類題1.2】
　３つのサイコロを同時にふるとき，出る目の最大値と最小値を考える．
(ⅰ)　最大値が3かつ最小値が2となる確率を求めよ．
(ⅱ)　最大値と最小値の差が2以上となる確率を求めよ．

（2011年度広島市立大情報科）

［解答を見る］

（解答）
(ⅰ)　最大値が3かつ最小値が2となるのは，実際に3と2の目が出て，残り１つの目が2か3である場合
　ア） 2,2,3となる場合･･･「同じ物があるときの順列」の公式により
$\frac{3!}{2!1!}=3$ 通り
　イ） 2,3,3となる場合･･･同様にして
$\frac{3!}{1!2!}=3$ 通り
　確率は $p=\frac{6}{6^3}=\frac{1}{36}$
(ⅱ)　最大値と最小値の差が2以上となる場合は多いので，余事象：最大値と最小値の差が１以下となる確率から計算する

m\|M	1	2	3	4	5	6
1	1	6
2	×	1	6
3	×	×	1	6
4	×	×	×	1	6
5	×	×	×	×	1	6
6	×	×	×	×	×	1

• m=2, M=2となるのは，３個とも２の場合だから1通り［表の赤文字］
• m=2, M=3の場合は(ⅰ)の結果から6通り［表の青文字］
• 他の場合も同様にして埋めることができる．
以上の合計から，最大値と最小値の差が１以下となる場合は，36通り
確率は， $q=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$
余事象の確率を求めると， $p=1-q=\frac{5}{6}$
→解答を隠す←

【出た目の最大値・最小値】

【類題1.3】
　1から6までの目が同じ割合で出る4個のさいころを同時に投げるとき，次の確率を求めなさい．
(1)　出る目がすべて異なる確率
(2)　出る目の最小値が2，かつ最大値が3である確率
(3)　出る目の最大値と最小値の積が20以上である確率

（2016年度山口大）

［解答を見る］

（解答）
(1)
　4個のさいころを同時に投げるとき，目の出方は全部で $N=6^4$ 通り（これらは同様に確からしい確率で出る）
　出る目がすべて異なる場合の数は， $n=_6P_4=6\times 5\times 4\times 3$ 通り
　確率は， $p=\frac{n}{N}=\frac{6\times 5\times 4\times 3}{6^4}=\frac{5}{18}$
(2)
　（試験会場で思い付く程度の平凡な考えで！）
　ア）2,2,2,3→同じものがあるときの順列は $\frac{4!}{3!1!}=4$ 通り
　イ）2,2,3,3→同じものがあるときの順列は $\frac{4!}{2!2!}=6$ 通り
　ウ）2,3,3,3→同じものがあるときの順列は $\frac{4!}{1!3!}=4$ 通り
　確率は， $p=\frac{n}{N}=\frac{14}{6^4}=\frac{7}{648}$

（別解）
• 2と３だけが出るのは， $2^4$ 通り
• そのうちで，1だけのものが1通り，3だけのものが1通りあって，これらは最大値が3かつ最小値が2という条件を満たさないから，取り除く
• 確率は， $\frac{2^4-2}{6^4}=\frac{7}{648}$

(3)
• 出る目の最小値をm,最大値をMとするとき，mM≧20となる確率を求める．
• 4以上の目だけが出る場合のうちで，m=4, M=4の場合だけがmM<20となるから，題意に合う目の出方は
$3^4-1$ 通り
• 確率は
$\frac{3^4-1}{6^4}=\frac{80}{1296}=\frac{5}{81}$
→解答を隠す←

【類題1.4】
　さいころを3回投げる．このとき，偶数の目がちょうど２回出るという事象をA，4以上の目が少なくとも１回は出るという事象をB，４以上の目が少なくとも２回は出るという事象をCとすると，事象A∩Bの起こる確率P(A∩B)，事象A∩Cの起こる確率P(A∩C)は，それぞれP(A∩B)= カ，P(A∩C)= キである．

（2011年度山梨大医学部）

［解答を見る］

（解答）
　起こり得るすべての場合の数は $N=6^3$ 通り（これらは同様に確からしい）
カ ←
　このうち，偶数，偶数，奇数となるもののうちで「４以上の目が少なくとも１回は出る」のは，次の表の通り．
　なお，場合の数は「同じものがあるときの順列」の公式などで求める．

偶数	偶数	奇数	場合の数
2	2	5	$\frac{3!}{2!1!}=3$ 通り
2	4	1,3,5	$3!\times 3=18$ 通り
2	6	1,3,5	$3!\times 3=18$ 通り
4	4	1,3,5	$\frac{3!}{2!1!}\times 3=9$ 通り
4	6	1,3,5	$3!\times 3=18$ 通り
6	6	1,3,5	$\frac{3!}{2!1!}\times 3=9$ 通り

　確率は $\frac{75}{6^3}=\frac{25}{72}$
キ ←
　このうち，偶数，偶数，奇数となるもののうちで「４以上の目が少なくとも2回は出る」のは，次の表の通り．

偶数	偶数	奇数	場合の数
2	4	5	$3!=6$ 通り
2		5	$3!=6$ 通り
4	4	1,3,5	$\frac{3!}{2!1!}\times 3=9$ 通り
4	6	1,3,5	$3!\times 3=18$ 通り
6	6	1,3,5	$\frac{3!}{2!1!}\times 3=9$ 通り

　確率は $\frac{48}{6^3}=\frac{7}{36}$
→解答を隠す←

** 赤玉白玉の確率 **
【教科書レベル】

【例題2.1】
　赤玉３個，白玉４個，青玉２個が入っている袋から一度に２個の玉を取り出すとき，２個とも青玉である確率は　　である．また，２個とも同じ色である確率は
　　である．

（2000年度武蔵大経済学部）

（解答）
　合計９個の玉が入っている袋から一度に２個の玉を取り出す方法は，全部で $N=_9C_2=36$ 通りあり，これらは同様に確からしい．
　青玉２個を取り出す方法は， $n=_2C_2=1$
　確率は $p=\frac{n}{N}=\frac{1}{36}$

　上の問題の他に同様に同じ色になる組合せを考える．
ア）　２個とも青：上記の通り $\frac{1}{36}$
イ）　２個とも赤： $\frac{_3C_2}{36}=\frac{3}{36}$
ウ）　２個とも青： $\frac{_4C_2}{36}=\frac{6}{36}$
これらの和（排反事象だから加法定理で求める）は
$\frac{10}{36}=\frac{5}{18}$

【類題2.1】
　袋の中に赤球１個，黄球２個，緑球３個，青球４個のあわせて10球が入っている．この中から一度に４個の球を取り出すとき，次の確率を求めよ．
(1)　４個の球の色がすべて同じである確率P
(2)　４個の球の色がすべて異なる確率Q
(3)　４個の球の色が２種類である確率R
(4)　４個の球の色が３種類である確率S

（2000年度甲南大理学部）

［解答を見る］

（解答）

　P,Q,R,Sは互いに排反事象で，かつ和事象が全事象になっているから，１つは余事象の定理で計算できる．
　ここでは，SをP,Q,Rから求めるとよい．

(1)　10個の球から一度に4個の球を取り出す方法は，全部で $N=_{10}C_4$ 通りあり，これらは同様に確からしい．
　4個の球の色がすべて同じ色になるのは，青色の場合だけであるから， $n=_{4}C_4$ 通り
　確率は $P=\frac{n}{N}=\frac{_4C_4}{_{10}C_4}=\frac{1}{210}$
(2)　４個の球の色がすべて異なるのは，赤,黄,緑,青から１球ずつ取り出す場合だから， $n=_1C_1\times _2C_1\times _3C_1\times _4C_1=24$ 通り
確率は $P=\frac{n}{N}=\frac{24}{210}=\frac{4}{35}$
(3)　４個の球の色が２種類となるのは次の場合
（左から4列までは個数を表す）

赤(≦1)	黄(≦2)	緑(≦3)	青(≦4)	場合の数
1		3		1×1
1			3	1×4
	1	3		2×1
	1		3	2×4
	2	2		1×3
	2		2	1×6
		1	3	3×4
		2	2	3×6
		3	1	1×4

　場合の数は，n=1+4+2+8+3+6+12+18+4=58
　確率は $R=\frac{n}{N}=\frac{58}{210}=\frac{29}{105}$
(4)　余事象の確率を計算する
$S=1-(P+ Q+ R)=1-(\frac{1}{210}+\frac{4}{35}+\frac{29}{105})=\frac{127}{210}$
→解答を隠す←

【類題2.2】
　箱の中に白玉７個，赤玉３個が入っている．
(1)　箱の中から２個の玉を同時に取り出すとき，少なくとも１つ赤玉が含まれる確率を求めよ．
(2)　箱の中からr個の玉を同時に取り出すとき，すべて白玉である確率をrの式で表せ．ただし，2≦r≦10とする．
(3)　少なくとも１つ赤玉が含まれる確率を $\frac{9}{10}$ 以上とするには，箱の中から少なくとも何個の玉を同時に取り出す必要があるか求めよ．

（2011年度北海学園大工学部）

［解答を見る］

（解答）

「少なくとも１つ･･･である」と来たら「余事象の確率」を考える
「余事象の確率」=1−「全部･･･でない確率」

(1)
　10個の玉が入っている箱の中から，2個の玉を同時に取り出す方法は， $N=_{10}C_2=45$ 通りあり，どの起こり方も同様に確からしい．
　出た球が全て白である場合の数は， $n=_7C_2=21$ 通り
　求める確率は，その余事象の確率から
$1-\frac{21}{45}=\frac{24}{45}=\frac{8}{15}$
(2)
　2≦r≦7のとき，r個がすべて白玉である確率は
$\frac{_7C_r}{_{10}C_r}=\frac{7!}{r!(7-r)!}\times\frac{r!(10-r)!}{10!}=\frac{(10-r)(9-r)(8-r)}{10\times 9\times 8}$
　8≦r≦10のとき，r個がすべて白玉である確率は0･･･この内容は上式にr=8,9,10を代入しても得られる
よって，2≦r≦10のとき $\frac{(10-r)(9-r)(8-r)}{10\times 9\times 8}$
(3)
$2\overset{\lt}{=}r\overset{\lt}{=}10$ のとき，次の不等式を解く
$1-\frac{(10-r)(9-r)(8-r)}{10\times 9\times 8}\overset{\gt}{=}\frac{9}{10}$
$1-\frac{9}{10}\overset{\gt}{=}\frac{(10-r)(9-r)(8-r)}{10\times 9\times 8}$
$\frac{1}{10}\overset{\gt}{=}\frac{(10-r)(9-r)(8-r)}{10\times 9\times 8}$
$9\times 8\overset{\gt}{=}(10-r)(9-r)(8-r)$
この式の右辺はrの減少関数（rが増えると式の値が小さくなる）で
r=4のとき， $9\times 8\lt 6\times 5\times 4$
r=5のとき， $9\times 8\gt 5\times 4\times 3$
r=6のとき， $9\times 8\gt 4\times 3\times 2$
であるから，r≧5のとき $9\times 8\overset{\gt}{=}(10-r)(9-r)(8-r)$
が成り立つ．すなわち
$1-\frac{(10-r)(9-r)(8-r)}{10\times 9\times 8}\overset{\gt}{=}\frac{9}{10}$
が成り立つ．よって，少なくとも5個 →解答を隠す←

【類題2.3】
　１から9までの数字を書いた９個の玉があり，これらの9個の玉が袋に入っているとき，次の問いに答えよ．
(a)　袋から玉を2個同時に取り出すとき，取り出された玉に書かれている数の最大値が７である確率は [ア] 　　 [イ] 　　である．
(b)　袋から玉を３個同時に取り出すとき，取り出された玉に書かれている数の最大値が７以下である確率は
[ウ] 　　 [エオ] 　　　である．

(c)　袋から玉を３個同時に取り出すとき，取り出された玉に書かれている数の最大値が５以上７以下である確率は [カキ] 　　 [クケ] 　　　である．
(d)　1≦k≦9であるような自然数kに対して，袋から玉をk個同時に取り出すとき，取り出された玉に書かれている数の最大値が７である確率をpkとする．pkが最大となるのは，k=[コ]のときである．

（2014年度東京理科大）

［解答を見る］

（解答）
(a)
　９個の玉から２個の玉を同時に取り出す方法は，全部で $N=_9C_2=36$ 通り
　２個取り出したとき最大値が7となるのは，１～6と7を取り出す場合， $n=6$ 通り
　確率は， $p=\frac{n}{N}=\frac{1}{6}$

（別解）
最大値が７以下となる場合の数から，最大値が６以下となる場合の数を引くと，最大値が7となる場合の数になるから
$n=_7C_2-6C_2=21-15=6$ 通り
　確率は， $p=\frac{n}{N}=\frac{1}{6}$

(b)
余事象で調べると場合の数が少なくなる
　９個の玉から３個の玉を同時に取り出す方法は，全部で $N=_9C_3=84$ 通り
　３個取り出したとき最大値が8となるのは，１～7から２個と8を取り出す場合， $n_1=_7C_2=21$ 通り
　３個取り出したとき最大値が9となるのは，１～8から２個と9を取り出す場合， $n_2=_8C_2=28$ 通り
　余事象の確率は， $q=\frac{n_1+ n_2}{N}=\frac{49}{84}=\frac{7}{12}$
　求める確率は， $p=1-q=\frac{5}{12}$

（別解）
　７以下の玉を３個取り出す場合の数は， $n=_7C_3=35$ 通り
　確率は $p=\frac{35}{84}=\frac{5}{12}$

→解答を隠す←

［解答を見る］

(c)
　９個の玉から３個の玉を同時に取り出す方法は，全部で $N=_9C_3=84$ 通り
　３個取り出したとき最大値が5となるのは，１～4から２個と5を取り出す場合， $n_1=_4C_2=6$ 通り
　３個取り出したとき最大値が6となるのは，１～5から２個と6を取り出す場合， $n_2=_5C_2=10$ 通り
　３個取り出したとき最大値が7となるのは，１～6から２個と7を取り出す場合， $n_3=_6C_2=15$ 通り
　確率は， $p=\frac{n_1+ n_2+ n_3}{N}=\frac{31}{84}$

（別解）
(b)の結果から，３個取り出したとき最大値が8以上となる確率は $\frac{7}{12}$
　また，３個取り出したとき最大値が４以下となる場合の数は， $_4C_3=4$ 通りで確率は $\frac{4}{84}=\frac{1}{21}$
　これらを加えると，最大値が8以上または4以下となる確率は $\frac{53}{84}$
　余事象の確率を求めると， $\frac{31}{84}$

(d)
　９個の玉からk個の玉を同時に取り出す方法は，全部で $N=_9C_k$ 通り
ア）　k≦7のとき
　k個取り出したとき最大値が7となるのは，１～6からk−1個と7を取り出す場合， $n=_6C_{n-1}$ 通り
$p_k=\frac{_6C_{k-1}}{_9C_k}=\frac{6!}{(7-k)!(k-1)!}\times\frac{k!(9-k)!}{9!}$
$=\frac{k(9-k)(8-k)}{9\times 8\times 7}$ ･･･(*1)
イ）　k≧8のとき， $p_k=0$ になるが，この結果は(*1)に含めることができる．

正の数は,比によって大小を比較でき
$\frac{p_{k+ 1}}{p_k}=\frac{(k+ 1)(8-k)(7-k)}{k(9-k)(8-k)}=\frac{(k+ 1)(7-k)}{k(9-k)}\gt 1$
となるkを求めると
$(k+ 1)(7-k)\gt k(9-k)$
$7k+ 7-k^2-k\gt 9k-k^2$
$7\gt 3k$
$k\lt\frac{7}{3}$
また，同様にして $\frac{p_{k+ 1}}{p_k}\lt 1\leftrightarrow k\gt\frac{7}{3}$ も示せる．
以上により， $p_1\lt p_2\lt p_3\gt p_4\gt p_5\cdots$ →解答を隠す←

** カードの確率 **
【最大値・最小値】

【例題3.1】
　１から12までの数を１つずつ記した12枚のカードがある．この中から無作為に4枚のカードを取り出すとき，この4枚のカードに記した数の最小値が7である確率を既約分数で表すと　　となる．

（2000年度早稲田大教育学部）

（解答）
　(最小値が7)=(7以上)−(8以上)と考えると
　７以上は7,8,9,10,11,12の6枚，8以上は8,9,10,11,12の5枚だから
　確率は $\frac{_6P_4-_5P_4}{_{12}P_4}=\frac{6\times 5\times 4\times 3-5\times 4\times 3\times 2}{12\times 11\times 10\times 9}=\frac{2}{99}$

（別解）
8以上の5枚から3枚選び( $_5C_3$ )，これに7のカードを合わせて合計4枚を並べる方法は
$_5C_3\times 4!$ 通り
確率は
$\frac{_5C_3\times 4!}{_{12}P_4}=\frac{10\times 4\times 3\times 2}{12\times 11\times 10\times 9}=\frac{2}{99}$

【類題3.1】
　Nを3以上の自然数とする．
　1からNまでの数字が1つずつ書かれたN枚のカードを袋に入れ，「無作為に1枚カードを取り出し，そのカードを袋に戻さずに次のカードを取り出す」という作業を3枚のカードを取り出すまで繰り返す．取り出された3枚のカードに書かれた数の最大値をXとする．
　また，1からNまでの数字が書かれたN枚のカードを袋に入れ，「無作為に1枚カードを取り出しはそれに書かれた数を記録し，袋に戻す」という作業を3回行い，記録された数の最大値をYとする．
　nをN以下の自然数とする．X=nとなる確率をpnとし，Y=nとなる確率をqnとする．
(1)　略
(2)　pnとqnを求めよ．

（2016年度琉球大理系）

［解答を見る］

（解答）
(2)
最大値がnとなる場合の数は，
非復元:(n以下の3枚の選び方)−(n−1以下の3枚の選び方)
で求められるから
$_nC_3-_{n-1}C_3=\frac{n(n-1)(n-2)}{6}-\frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{6}$
$=\frac{3(n-1)(n-2)}{6}=\frac{(n-1)(n-2)}{2}$
確率は
$p_n=\frac{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}{_NC_3}=\frac{(n-1)(n-2)}{2}\times\frac{6}{N(N-1)(N-2)}$
$=\frac{3(n-1)(n-2)}{N(N-1)(N-2)}$

（別解）
　数字がnのカードと他に1～n−1から2枚選んで1組にすると，最大値がnとなる3枚の組ができる
　その場合の数は $_{n-1}C_2=\frac{(n-1)(n-2)}{2}$
　以下，確率の計算は同様

　復元抽出の場合，3枚取り出す場合の総数は $N^3$ で，どの取り出し方も同様に確からしい
　最大値が最大値がnとなる場合の数は，
復元:(n以下の3枚の選び方)−(n−1以下の3枚の選び方)
で求められるから
$n^3-(n-1)^3=3n^2-3n+ 1$
確率は
$q_n=\frac{3n^2-3n+ 1}{N^3}$
→解答を隠す←

【等差中項】

【類題3.2】（**むずかしい**）
　n枚のカードがあり，１枚目のカードに1，2枚目のカードに2，･･･，n枚目のカードにnが書かれている．これらのn枚のカードから無作為に１枚を取り出してもとに戻すことを3回行う．取り出されたカードに書かれている数を取り出した順にx, y, zとする．
(1)　x>yとなる確率pを求めよ．
(2)　2x=y+zとなる確率qを求めよ．

（2000年度一橋大）

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（解答）
(1)
　具体例を並べてみると

x=2→y=1⇒1通り
x=3→y=1,2⇒2通り
x=4→y=1,2,3⇒3通り
　　･･･
x=n→y=1,2,･･･, n−1⇒n−1通り

　合計 $1+ 2+\cdots+(n-1)=\frac{(n-1)n}{2}$ 通り
　なお，復元抽出だからxはn通り，yもn通りの取り出し方があり，取り出し方の総数は $n^2$ 通り
　確率は，
$p=\frac{\frac{(n-1)n}{2}}{n^2}=\frac{n-1}{2n}$
(2)
　2x=y+zとは，xはy, zの等差中項または平均値になるということで，y, zが偶数と偶数，または奇数と奇数のとき，対応するxの値がただ１通りに決まる．
ア）nが偶数のとき（n=2mとおく.mは整数）

　1～nの中にある奇数m個からy, zを取り出す方法は， $m^2$ 通り
　同様に，偶数m個からy, zを取り出す方法は， $m^2$ 通り
　したがって，y, zが偶数と偶数，または奇数と奇数となるのは， $2m^2$ 通り
　nから復元抽出で3個取り出す方法は， $n^3$ 通り
　確率は， $q=\frac{2m^2}{n^3}=\frac{2(\frac{n}{2})^2}{n^3}=\frac{1}{2n}$

イ）nが奇数のとき（n=2m−1とおく.mは整数）

　1～nの中にある奇数m個からy, zを取り出す方法は， $m^2$ 通り
　同様に，偶数m−1個からy, zを取り出す方法は， $(m-1)^2$ 通り
　したがって，y, zが偶数と偶数，または奇数と奇数となるのは，
$m^2+(m-1)^2=(\frac{n+ 1}{2})^2+(\frac{n-1}{2})^2=\frac{n^2+ 1}{2}$ 通り
　nから復元抽出で3個取り出す方法は， $n^3$ 通り
　確率は， $q=\frac{n^2+ 1}{2n^3}$

→解答を隠す←

【隣り合う・隣り合わない並べ方】

【類題3.3】
　1, 2, ･･･, nと書かれたカードがそれぞれ１枚ずつ合計n枚ある．この中からカードを何枚か抜きとるとき，次の問いに答えよ．
(1)　同時に2枚のカードを抜きとるとき，それらのカードの数字が連続している確率P1を求めよ．
(2)　同時に3枚のカードを抜きとるとき，それらのカードの3つの数字が連続している確率P2を求めよ．
(3)　同時に3枚のカードを抜きとるとき，それらのカードの3つの数字のうち2つだけが連続している確率P3を求めよ．
(4)　同時に3枚のカードを抜きとるとき，それらのカードの3つの数字のうちどの2つも連続していない確率P4を求めよ．

（2005年度名古屋市立大）

［解答を見る］

（解答）
(1)
　n枚のカードから同時に2枚のカードを抜きとる抜きとり

方の総数は $N=_nC_2=\frac{n(n-1)}{2}$ 通り
　そのうちで，カードの数字が連続しているのは，

[1,2],3,4,...,n
1,[2,3],4,...,n
1,2,3,4,...,[n−1,n]

のn−1通り
　確率は $P_1=\frac{n-1}{\frac{n(n-1)}{2}}=\frac{2(n-1)}{n(n-1)}=\frac{2}{n}$
(2)
　n枚のカードから同時に3枚のカードを抜きとる抜きとり

方の総数は $N=_nC_3=\frac{n(n-1)(n-2)}{6}$ 通り
　そのうちで，3枚のカードの数字が連続しているのは，

[1,2,3],4,...,n
1,[2,3,4],...,n
1,2,3,...,[n−2,n−1,n]

のn−2通り
　確率は $P_2=\frac{n-2}{\frac{n(n-1)(n-2)}{6}}=\frac{6(n-2)}{n(n-1)(n-2)}=\frac{6}{n(n-1)}$
(3)
　具体例を並べてみると

〇で囲んだ２数に隣り合わない数は，枠の外にある数で
• 枠が左端にある場合と，右端にある場合はn−3通り
• それ以外のn−3個についてはn−4通りある
合計， $2(n-3)+ (n-3)(n-4)=(n-3)(n-2)$ 通り
　確率は $P_3=\frac{(n-3)(n-2}{\frac{n(n-1)(n-2)}{6}}=\frac{6(n-3)(n-2)}{n(n-1)(n-2)}=\frac{6(n-3)}{n(n-1)}$
(4)
　上記(2)(3)に対して余事象の確率を求めると
$P_4=1-\{\frac{6}{n(n-1)}+ \frac{6(n-3)}{n(n-1)}\}$
$=\frac{n^2-7n+ 12}{n(n-1)}=\frac{(n-3)(n-4)}{n(n-1)}$
→解答を隠す←

（別解）
「並べ方が指定されている順列=並べ替えてはいけない順列=同じものがあるときの順列=組合せ」と考える
(2)　「3つの数字が連続している」とは

図のように，３つ繋がった団子1組と残りn−3個の同じ〇，合計n−2個の並べ方の総数は

$\frac{(n-2)!}{1!(n-3)!}=n-2$ 通り
　確率は $P_2=\frac{n-2}{\frac{n(n-1)(n-2)}{6}}=\frac{6(n-2)}{n(n-1)(n-2)}=\frac{6}{n(n-1)}$
(3)　「3つの数字のうち2つだけが連続している」とは

図のように，n−3個の同じ〇を並べておいて（並べ方は１通り），その両端を含むすき間n−2箇所から２か所選んで「２連の団子」と「１つの団子」を並べると，「3つの数字のうち2つだけが連続している」ことに対応する
　数字の選び方がn−2通り

並べ方が $(n-2)(n-3)$ 通り
　確率は $P_3=\frac{(n-2)(n-3)}{\frac{n(n-1)(n-2)}{6}}=\frac{6(n-3)}{n(n-1)}$

(4)　「3つの数字のうちどの2つも連続していない」ようにするには⇒「隣り合わない並べ方」

　図の桃色で示した３つの数字が互いに隣り合わないように並べるには，どの様にすればよいかを考える．
　白で示した残りn−3個の同じ〇を並べておいて（並べ方は１通り），その両端を含むすき間n−2箇所から３か所選らんで桃色の〇を入れると，桃色の〇は隣り合わない（⇔一般に，あるものを隣り合わないように並べるには，相手方の「すき間に並べる」=同じすき間に入れてはいけない）
　この並べ方は $_{n-2}C_3=\frac{(n-2)(n-3)(n-4)}{6}$ 通り
　確率は
$P_4=\frac{\frac{(n-2)(n-3)(n-4)}{6}}{\frac{n(n-1)(n-2)}{6}}$
$=\frac{(n-2)(n-3)(n-4)}{6}\times \frac{6}{n(n-1)(n-2)}$
$=\frac{(n-3)(n-4)}{n(n-1)}$

** ジャンケンの確率 **

　じゃんけんの確率を求める問題は，
「どの手で勝つか」→「誰が勝つか」の２段階で考えるのが基本です．
• 「どの手で勝つか」を考えるときは，「手の組合せ」だけを考え「手の並べ方」は考えない．
• 「誰が勝つか」を考えるときは「同じものがあるときの順列」によって具体的なものの並びと対応させるのをお勧めします．
「組合せ」で考える方法もありますが，組合せは抽象的なので，複雑になったときに自信が持てないかもしれません．
　同じものがa個，b個，c個，･･･合計n個あるときの順列の総数は
$\frac{n!}{a!b!c!\cdots}$
これが基本公式です．

【例題4.1】
(1)　４人で一回じゃんけんをして２人が勝ち，２人が負ける確率は　　である．
(2)　４人で一回じゃんけんをして勝負がつかない確率は　　である．
(3)　５人で一回じゃんけんをして３人が勝ち，２人が負ける確率は　　である．
(4)　５人で一回じゃんけんをして勝負がつかない確率は　　である．

（2000年度中央大理工学部）

（解答）
　以下において，じゃんけんの手をグ（ぐー），チ（ちょき），パ（ぱー）で表す．人は，A,B,C,D,...などで区別する．
(1)
• じゃんけんの手の出し方は，Aが３通り，Ｂが３通り，･･･全部で $N=3^4=81$ 通り（これらはどれも同様に確からしい）
• 題意に合うのは，(グ, グ, チ, チ)のように２種類の手を２人ずつが出す場合で
　手の決め方は $_3C_2=3$ 通り
• 各々の手について，その手を出す人の決め方は，例えば

A	B	C	D
グ	グ	チ	チ

のように，同じもの（ググ，チチ）があるときの順列の総数を数えたらよい
　　(グ,グ,チ,チ),(グ,チ,グ,チ),(グ,チ,チ,グ)
　　(チ,グ,グ,チ),(チ,グ,チ,グ),(チ,チ,グ,グ)

• 勝つ人の決め方は， $\frac{4!}{2!2!}=6$ 通り･･･(*1)
• 結局，手の決め方と人の決め方の積は， $n=3\times 6=18$ 通り

• 確率は $p=\frac{18}{81}=\frac{2}{9}$ ･･･（答）

(*1)の別解：多くの教科書では「同じものがあるときの順列」を「組合せ」で教える．その教え方に沿った考え方は，次のようになる．

A	B	C	D
グ	グ	チ	チ

　例えば，右の表のように手の組合せ(グ, グ, チ, チ)を出す人の決め方を，グを出す人をABCD４人から２人選ぶ方法と考えると $_4C_2=6$ 通りになる．（残り２人は自動的にチに決まる．）
　このページの答案では(1)の答案のように「同じものがあるときの順列」がお勧め

** 確率の答案の検算 **
　確率の問題では，抽象的な言葉で述べられる場合分けと計算が対応しているかどうか「自信が持てない」ことがよくあります．少しでも自信を持つためには，上に述べた(グ, グ, チ, チ)のような①「具体物を考える」のが１つの方法です．
　また，時間があれば②「余事象で検算する」と手堅く解けます．

(2)
• じゃんけんの手の出し方は， $N=3^4=81$ 通りで，これらはどれも同様に確からしい
　４人で一回じゃんけんをして勝負がつかないのは，次の２つの場合がある．
ア）　(グ,グ,グ,グ)のように４人とも同じ手を出す場合（１種類の手だけが出る場合）

• 手の決め方は $_3C_1=3$ 通り
• その手の各々について，人の決め方は，1通り
• 結局，勝つ人と勝ち手の決め方は， $n=1\times 3=3$ 通り
• 確率は $p_1=\frac{3}{81}$

イ）　(グ,グ,チ,パ)のように３種類の手が出る場合

• (グ,グ)のように２人同じ手の決め方は $_3C_1=3$ 通り
　その各々について，(チ)のように負ける手の決め方は， $_2C_1=2$ 通り
• ２人同じ手の人の決め方は， $\frac{4!}{2!21}=6$ 通り
• 結局，題意に合う手と人の決め方は， $n=3\times 2\times 6=36$ 通り
• 確率は $p_2=\frac{36}{81}$

ア）イ）の和を求めると

• 確率は $p=\frac{3}{81}+\frac{36}{81}=\frac{39}{81}=\frac{13}{27}$ ･･･（答）

(2)の別解
(グ,グ,グ,チ), (グ,グ,チ,チ)のように２種類の手だけが出たら,勝者と敗者が決まる．(グ,グ,グ,グ)のように１種類の手だけが出る場合と，(グ,グ,チ,パ)のように３種類の手が出る場合は，勝者敗者は決まらない．
　そこで，２種類の手が出る場合から，余事象の定理を用いて計算する．
ア）　(グ,グ,グ,チ)のように３人の手が同じで，１人の手が別になるのは
• 手の決め方が $_3C_1\times _2C_1=6$ 通り
• その各々について手を出す人の決め方が， $_4C_3=4$ 通り
• 確率は $p_1=\frac{24}{81}$
イ）　(グ,グ,チ,チ)のように2人ずつ手が同じになるのは
• 並べ方を考えず，手だけを考えると，その決め方は $_3C_2=3$ 通り
• その各々について手を出す人の決め方が， $\frac{4!}{2!21}=6$ 通り
• 確率は $p_2=\frac{18}{81}$
• 余事象の確率を求めると
$p=1-p_1-p_2=1-\frac{42}{81}=\frac{39}{81}=\frac{13}{27}$

(3)
　(グ,グ,グ,チ,チ)のように２種類の手だけが出て，３人の手が２人の手に勝つ場合は，題意に適する．
　３人の手と２人の手の２種類の手だけが出ても，(チ,チ,チ,グ,グ)のように３人の手が負ける場合は，題意に適さない．
• ３人の手の決め方は3通り，その各々について２人の手の決め方は１通り．
• 勝つ人の決め方は， $_5C_3=10$ 通り

• 確率は， $p=\frac{3\times 1\times 10}{3^5}=\frac{10}{81}$

(4)
　勝敗がつかないのは，次の各場合
ア） (グ,グ,グ,グ,グﾞ)のように1種類の手が出る（全員同じ手になる）場合
　手の出し方は３通り，その各々について出す人の決め方は１通り
イ） (グ,グ,グ,チ,パ)のように３人-１人-１人で3種類の手が出る場合
　手の出し方は $_3C_1=3$ 通り，その各々について出す人の決め方は $\frac{5!}{3!1!1!}=20$ 通り
ウ） (グ,グ,チ,チ,パ)のように2人-2人-１人で3種類の手が出る場合
　手の出し方は $_3C_1=3$ 通り，その各々について出す人の決め方は $\frac{5!}{2!2!1!}=30$ 通り

• 確率は， $p=\frac{3+ 60+ 90}{3^5}=\frac{17}{27}$

（別解：余事象の確率から求める場合）
５人で一回じゃんけんをして勝負がつく（少なくとも１人が勝つまたは少なくとも１人が負ける）のは次の場合
ア） (グ,グ,グ,グ,チ)のように４人が同じ手を出し，１人が別の（勝つまたは負ける）手を出す
　手の決め方は $3\times 2=6$ 通り
　それぞれの手について，手を出す人の決め方は， $_5C_4=5$ 通り
　確率は， $\frac{6\times 5}{3^5}=\frac{10}{81}$
イ） (グ,グ,グ,チ,チ)のように３人が同じ手を出し，２人が別の（勝つまたは負ける）手を出す
　(3)の結果から，3人が勝ち2人が負ける確率は， $\frac{3\times 1\times 10}{3^5}=\frac{10}{81}$ だから，3人が負け2人が勝つ確率も $\frac{3\times 1\times 10}{3^5}=\frac{10}{81}$
　したがって， $\frac{20}{81}$
アイ）より勝負がつく確率は $\frac{30}{81}=\frac{10}{27}$
　余事象の定理により，勝負がつかない確率は， $1-\frac{10}{27}=\frac{17}{27}$

【類題4.1】
　５人でじゃんけんをする．
(1)　１回だけじゃんけんをしたとき，ちょうど２人が勝つ確率を求めよ．
(2)　１回だけじゃんけんをしたとき，あいこになる確率を求めよ．
(3)　２回続けてあいこになり，３回目で１人だけが勝つ確率を求めよ．

（2000年度立教大社会学部）

［解答を見る］

（解答）
(1)　２人が勝つのは，(グ,グ,チ,チ,チ)のように３人が同じ手を出し，２人が別の負ける手を出す場合
　勝つ手を決めたら，負ける手は決まるから，手の出し方は3通り
　それぞれの手の出し方について，その手を出す人の決め方は $\frac{5!}{2!3!}=10$ 通り
　確率は， $\frac{3\times 10}{3^5}=\frac{10}{81}$

(2)

　じゃんけんのような子供の遊びは，地域ごとに異なるルールになっていることがある．筆者の地元（関西の田舎）では，３人でじゃんけんをして，勝者が１人に絞られるまでの２回目以降の掛け声は，すべて「あいこ」になる
(3人)→じゃんけんほい→(2人)→あいこでほい→(1人)
　要するに，最終決着がついていないことを「あいこ」という．
　これに対して，元の問題のような多数派の言い方では，「１人も負けず１人も勝たないこと」を「あいこ」と読んでいることに注意

あいこになるのは，次の場合である
ア）　(グ,グ,グ,グ,グ)のように5人が同じ手を出す場合
　手の決め方は $_3C_1=3$ 通り
　その各々について，手を出す人の決め方は１通り
イ）　(グ,グ,グ,チ,パ)のように3人-1人-1人の手が出て3種類の手になる場合
　手の決め方は，３人の手を決めたら残りは決まるから， $_3C_1=3$ 通り
　その各々について，手を出す人の決め方は， $\frac{5!}{3!1!1!}=20$ 通り

　この問題について，「手を出す人の決め方」を組合せで考える場合
　 $_5C_3$ か $_5C_3\times _2C_1$ か「迷う人」へ！
筆者のささやき⇒上記のように「同じものがあるときの順列」で考えると「迷いはなくなりますよ！」

ウ）　(グ,グ,チ,チ,パ)のように2人-2人-1人の手が出て3種類の手になる場合
　手の決め方は，1人の手を決めたら残りは決まるから， $_3C_1=3$ 通り
　その各々について，手を出す人の決め方は， $\frac{5!}{2!2!1!}=30$ 通り

確率は $\frac{3+ 60+ 90}{3^5}=\frac{17}{27}$

（余事象を使った検算）
ⅰ） (グ,チ,チ,チ,チ)のような１人勝ちとなる場合
　手の決め方は3通り
　その各々について，手を出す人の決め方は，5通り
ⅱ） (グ,グ,チ,チ,チ)のような２人勝ちとなる場合
　手の決め方は3通り
　その各々について，手を出す人の決め方は， $\frac{5!}{2!3!}=10$ 通り
ⅲ） (グ,グ,グ,チ,チ)のような3人勝ちとなる場合
　手の決め方は3通り
　その各々について，手を出す人の決め方は， $\frac{5!}{3!2!}=10$ 通り
ⅳ） (グ,グ,グ,グ,チ)のような4人勝ちとなる場合
　手の決め方は3通り
　その各々について，手を出す人の決め方は， $\frac{5!}{4!1!}=5$ 通り
勝つ人がいる確率は $\frac{15+ 30+ 30+ 15}{3^5}=\frac{90}{3^5}=\frac{10}{3^3}=\frac{10}{27}$
余事象の確率は $1-\frac{10}{27}=\frac{17}{27}$

(3)
　(2)の結果から，２回続けてあいこになる確率は， $(\frac{17}{27})^2$
　一人だけが勝つ確率は， $\frac{15}{3^5}=\frac{5}{81}$
　求める確率は， $(\frac{17}{27})^2\times\frac{5}{81}=\frac{1445}{59049}$
→解答を隠す←

【類題4.2】
　nを2以上の自然数とする．n人でじゃんけんをする．各人はグー，チョキ，パーをそれぞれ $\frac{1}{3}$ の確率で出すものとする．勝者が１人に決まるまでじゃんけんを繰り返す．ただし，負けた人はその後のじゃんけんには参加しない．
(1)　１回目のじゃんけんで，勝者がただ１人に決まる確率を求めよ．
(2)　１回目のじゃんけんで，あいこになる確率を求めよ．
(3)　n=5のとき，ちょうど２回のじゃんけんで，勝者がただ１人に決まる確率を求めよ．

（2016年度信州大理系）

［解答を見る］

（解答）
(1)　(グ,チ,チ,･･･,チ)のような１人勝ちとなる場合
• 並べ方を考えずに，手の出し方だけ考えると，(グ,チ,チ,･･･,チ),(チ,パ,パ,･･･,パ),(パ,グ,グ,･･･,グ)の３通り
• その各々について，手を出す人の決め方は「同じものがあるときの順列の総数」で数えられる
$\frac{n!}{1!(n-1)!}=n$
• 確率は
$p=\frac{3n}{3^n}=\frac{n}{3^{n-1}}$
(2) 余事象の確率を用いて計算する･･･(1)の他に勝者敗者が決まる場合を求めて，全体から引く．
ⅰ）　１人勝ちとなる場合は，(1)から
$n$ 通り
ⅱ）　２人勝ちとなる場合
• 並べ方を考えずに，手の出し方だけ考えると，(グ,グ,チ,･･･,チ),(チ,チ,パ,･･･,パ),(パ,パ,グ,･･･,グ)の３通り
• その各々について，手を出す人の決め方は「同じものがあるときの順列の総数」で数えられる
$\frac{n!}{2!(n-2)!}=_nC_2$
ⅲ）　３人勝ちとなる場合
• 並べ方を考えずに，手の出し方だけ考えると，(グ,グ,グ,･･･,チ),(チ,チ,チ,･･･,パ),(パ,パ,パ,･･･,グ)の３通り
• その各々について，手を出す人の決め方は「同じものがあるときの順列の総数」で数えられる
$\frac{n!}{3!(n-3)!}=_nC_3$
･･･　･･･
n−1）　n−1人勝ちとなる場合
• 並べ方を考えずに，手の出し方だけ考えると，(グ,グ,グ,･･･,グ,チ),(チ,チ,チ,･･･,チ,,パ),(パ,パ,パ,･･･,パ,グ)の３通り
• その各々について，手を出す人の決め方は「同じものがあるときの順列の総数」で数えられる
$\frac{n!}{(n-1)!1!}=_nC_{n-1}$
これらを加えると
$3(n+ _nC_{2}+ _nC_3+\cdots+ _nC_{n-1})$
ここで２項定理を考えると
$(1+ x)^n=_nC_0+ _nC_1x+_nC_2x^2+\cdots+_nC_{n-1}x^{n-1}+ _nC_nx^n$
x=1を代入すると
$_nC_0+ _nC_1+_nC_2+\cdots+_nC_{n-1}+ _nC_n=2^n$
$_nC_1+_nC_2+\cdots+_nC_{n-1}=2^n-2$
上記の和は
$3(n+ _nC_{2}+ _nC_3+\cdots+ _nC_{n-1})=3(2^n-2)$
確率は
$q=\frac{3(2^n-2)}{3^n}=\frac{2^n-2}{3^{n-1}}$
余事象の確率を求めると
$p=1-q=1-\frac{2^n-2}{3^{n-1}}=\frac{3^{n-1}-2^n+ 2}{3^{n-1}}$

この問題は「入試問題」なので，数学Ⅰ，Aの範囲内の問題に限られず，「二項定理」も習っていることが前提になっています．全然分からなかった人は，二項定理を習ってからやってください．

→解答を隠す←

［解答を見る］

(3)
ア）　5人→5人→1人となる場合

[5人→5人]:(2)でx=5を代入すると
$\frac{3^{4}-2^5+ 2}{3^{4}}=\frac{51}{81}$
[5人→1人]:(1)の結果にx=5を代入すると
$\frac{5}{81}$

イ）　5人→4人→1人となる場合

[5人→4人]
• 並べ方を考えずに，手の出し方だけ考えると，(グ,グ,グ,グ,チ)などの３通り
• その各々について，手を出す人の決め方は「同じものがあるときの順列の総数」で数えられる
$\frac{5!}{4!1!}=5$ 通り
[4人→1人]
• 並べ方を考えずに，手の出し方だけ考えると，(グ,グ,グ,チ)などの３通り
• その各々について，手を出す人の決め方は「同じものがあるときの順列の総数」で数えられる
$\frac{4!}{3!1!}=4$ 通り
• 確率は $\frac{15}{3^5}\times\frac{12}{3^4}$

→解答を隠す←

［解答を見る］

ウ）　5人→3人→1人となる場合

[5人→3人]
• 並べ方を考えずに，手の出し方だけ考えると，(グ,グ,グ,チ,チ)などの３通り
• その各々について，手を出す人の決め方は「同じものがあるときの順列の総数」で数えられる
$\frac{5!}{3!2!}=10$ 通り
[3人→1人]
• 並べ方を考えずに，手の出し方だけ考えると，(グ,グ,チ)などの３通り
• その各々について，手を出す人の決め方は「同じものがあるときの順列の総数」で数えられる
$\frac{3!}{2!1!}=3$ 通り
• 確率は $\frac{30}{3^5}\times\frac{9}{3^3}$

エ）　5人→2人→1人となる場合

[5人→2人]
• 並べ方を考えずに，手の出し方だけ考えると，(グ,グ,チ,チ,チ)などの３通り
• その各々について，手を出す人の決め方は「同じものがあるときの順列の総数」で数えられる
$\frac{5!}{2!3!}=10$ 通り
[2人→1人]
• 並べ方を考えずに，手の出し方だけ考えると，(グ,チ)などの３通り
• その各々について，手を出す人の決め方は「同じものがあるときの順列の総数」で数えられる
$\frac{2!}{1!1!}=2$ 通り
• 確率は $\frac{10}{3^5}\times\frac{6}{3^2}$

以上のア～エより確率は
$\frac{51}{3^4}\times\frac{5}{3^4}+\frac{15}{3^5}\times\frac{12}{3^4}+\frac{30}{3^5}\times\frac{9}{3^3}+\frac{30}{3^5}\times\frac{6}{3^2}$
$=\frac{17}{3^3}\times\frac{5}{3^4}+\frac{5}{3^4}\times\frac{4}{3^3}+\frac{10}{3^4}\times\frac{1}{3}+\frac{10}{3^4}\times\frac{2}{3}$
$=\frac{255+ 60+ 270+ 540}{3^8}=\frac{1125}{3^8}=\frac{125}{729}$
→解答を隠す←

【類題4.3】
　３人がじゃんけんを１回だけするとき，あいこ（誰も勝たない）になる確率はキである．また，４人がじゃんけんを１回だけするとき，あいこになる確率はクである．さらに，n人（n≧3）がじゃんけんを１回するとき，あいことなる確率はケである．ただし，皆じゃんけんの全ての手を同じ確率で出すものとする．

（2016年度明治学院大）

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（解答）
キ ←
ア）　(グ,グ,グ)のように３人とも同じ手を出す場合
• 並べ方を考えずに，手の出し方は，(グ,グ,グ),(チ,チ,チ),(パ,パ,パ)の３通り
• その各々について，手を出す人の決め方は1通り
• 確率は
$p_1=\frac{3}{3^3}=\frac{1}{9}$
イ）　(グ,チ,パ)のように3種類の手が出る場合
• 並べ方を考えずに，手の出し方は，(グ,チ,パ)の1通り
• その各々について，手を出す人の決め方は
$3!=6$ 通り
• 確率は
$p_2=\frac{6}{3^3}=\frac{2}{9}$
アイより

$p=p_1+ p_2=\frac{1}{3}}$ → キ

（余事象の確率を用いる別解）
ⅰ）　(グ,チ,チ)のように1人が勝つ場合
• 並べ方を考えずに，手の出し方は，(グ,チ,チ),(チ,パ,パ),(パ,グ,グ)の３通り
• その各々について，手を出す人の決め方は「同じものがあるときの順列の総数」で数えられる
$\frac{3!}{1!2!}=3$ 通り
• 確率は
$q_1=\frac{3\times 3}{3^3}=\frac{1}{3}$
ⅱ）　(グ,グ,チ)のように2人が勝つ場合
• 並べ方を考えずに，手の出し方は，(グ,グ,チ),(チ,チ,パ),(パ,パ,グ)の３通り
• その各々について，手を出す人の決め方は「同じものがあるときの順列の総数」で数えられる
$\frac{3!}{2!1!}=3$ 通り
• 確率は
$q_2=\frac{3\times 3}{3^3}=\frac{1}{3}$
以上から，勝者が出る確率は $q=q_1+ q_2=\frac{2}{3}$
余事象の確率を求めると，あいこになる確率は $p=1-q=\frac{1}{3}$

ク ←
ア）　(グ,グ,グ,グ)のように4人とも同じ手を出す場合
• 並べ方を考えずに，手の出し方は，(グ,グ,グ,グ),(チ,チ,チ,チ),(パ,パ,パ,パ)の３通り
• その各々について，手を出す人の決め方は1通り
• 確率は
$p_1=\frac{3}{3^4}=\frac{1}{27}$
イ）　(グ,グ,チ,パ)のように3種類の手が出る場合
• 並べ方を考えずに，手の出し方は，２人出す手の選び方で，3通り
• その各々について，手を出す人の決め方は「同じものがあるときの順列の総数」で数えられる
$\frac{4!}{2!1!1!}=12$ 通り
• 確率は
$p_2=\frac{36}{3^4}=\frac{4}{9}$
アイより，あいことなる確率は
$p=p_1+ p_2=\frac{1}{27}+\frac{4}{9}=\frac{13}{27}$ → ク
→解答を隠す←

［解答を見る］

（余事象の確率を用いる別解）
ⅰ）　(グ,チ,チ,チ)のように1人が勝つ場合
• 並べ方を考えずに，手の出し方は，(グ,チ,チ,チ),(チ,パ,パ,パ),(パ,グ,グ,グ)の３通り
• その各々について，手を出す人の決め方は「同じものがあるときの順列の総数」で数えられる
$\frac{4!}{1!3!}=4$ 通り
• 確率は
$q_1=\frac{3\times 4}{3^4}=\frac{4}{27}$
ⅱ）　(グ,グ,チ,チ)のように2人が勝つ場合
• 並べ方を考えずに，手の出し方は， $_3C_2=3$ 通り
• その各々について，手を出す人の決め方は「同じものがあるときの順列の総数」で数えられる
$\frac{4!}{2!2!}=6$ 通り
• 確率は
$q_2=\frac{3\times 6}{3^4}=\frac{2}{9}$
ⅲ）　(グ,グ,グ,チ)のように3人が勝つ場合
• 並べ方を考えずに，手の出し方は，3通り
• その各々について，手を出す人の決め方は「同じものがあるときの順列の総数」で数えられる
$\frac{4!}{3!1!}=4$ 通り
• 確率は
$q_3=\frac{3\times 4}{3^4}=\frac{4}{27}$
余事象の確率を求めると
$p=1-q_1-q_2-q_3=1-\frac{4}{27}-\frac{2}{9}-\frac{4}{27}=\frac{13}{27}$

ケ ←
余事象の確率を用いて計算する
ⅰ）　(グ,チ,チ,･･･チ,チ)のように1人が勝つ場合
• 並べ方を考えずに，手の出し方は３通り
• その各々について，手を出す人の決め方は「同じものがあるときの順列の総数」で数えられる
$\frac{n!}{1!(n-1)!}=n$ 通り
ⅱ）　(グ,グ,チ,･･･チ,チ)のように2人が勝つ場合
• 並べ方を考えずに，手の出し方は３通り
• その各々について，手を出す人の決め方は「同じものがあるときの順列の総数」で数えられる
$\frac{n!}{2!(n-2)!}=_nC_2$ 通り
･･･
n-1）　(グ,グ,グ,･･･グ,チ)のようにn-1人が勝つ場合
• 並べ方を考えずに，手の出し方は３通り
• その各々について，手を出す人の決め方は「同じものがあるときの順列の総数」で数えられる
$\frac{n!}{(n-1)!1!}=_nC_{n-1}$ 通り
これらを加えると
$3(n+ _nC_{2}+ _nC_3+\cdots+ _nC_{n-1})$
ここで２項定理を考えると
$(1+ x)^n=_nC_0+ _nC_1x+_nC_2x^2+\cdots+_nC_{n-1}x^{n-1}+ _nC_nx^n$
x=1を代入すると
$_nC_0+ _nC_1+_nC_2+\cdots+_nC_{n-1}+ _nC_n=2^n$
$_nC_1+_nC_2+\cdots+_nC_{n-1}=2^n-2$
上記の和は
$3(n+ _nC_{2}+ _nC_3+\cdots+ _nC_{n-1})=3(2^n-2)$
確率は
$q=\frac{3(2^n-2)}{3^n}=\frac{2^n-2}{3^{n-1}}$
余事象の確率を求めると
$p=1-q=1-\frac{2^n-2}{3^{n-1}}=\frac{3^{n-1}-2^n+ 2}{3^{n-1}}$ → ケ
→解答を隠す←

【類題4.4】
　4人でじゃんけんをして，ただ１人の勝者が決まるまで繰り返し行うとき，次の各問に答えよ．ただし，負けた人は次の回以降のじゃんけんに加わらないとする．
(1)　１回目で３人が勝ち，１人だけが負ける確率を求めよ．
(2)　２回目でただ１人の勝者が決まる確率を求めよ．ただし，１回目でただ１人の勝者が決まる場合は含まない．

（2014年度茨城大教育学部）

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（解答）
(1)
• 4人の手の出し方は， $N=3^4=81$ 通りで，これらはどれも同様に確からしい
• 手の出し方は，並べ方を別として，(グ,グ,グ,チ), (チ,チ,チ,パ), (パ,パ,パ,グ)の３通り
• その各々について，手を出す人の決め方は「同じものがあるときの順列の総数」で数えられる
$\frac{4!}{3!1!}=4$ 通り
• 確率は $\frac{3\times 4}{3^4}=\frac{4}{27}$
(2)
ア）じゃんけんの勝負参加者数が［4人→4人→1人］と進む場合
　［4人→4人］となるのは，

(グ,グ,グ,グ)など４人とも同じ手の出し方は $3$ 通り
その各々について，手を出す人の決め方は1通り

(グ,グ,チ,パ)など2人-1人-1人と３種類の手の出し方は，（並べ方は別として，２人が出す手を決めれば決まるから） $3$ 通り
その各々について，手を出す人の決め方は「同じものがあるときの順列の総数」で数えられる
$\frac{4!}{2!1!1!}=12$ 通り

• 以上の和から，確率は $\frac{3+ 3\times 12}{3^4}=\frac{39}{81}=\frac{13}{27}$

　［4人→1人］となるのは，

並べ方は別として，手の出し方は(グ,チ,チ,チ)など $3$ 通り
その各々について，手を出す人の決め方は「同じものがあるときの順列の総数」で数えられる
$\frac{4!}{1!3!}=4$ 通り
• 確率は $\frac{3\times 4}{3^4}=\frac{4}{27}$

　結局，この確率は $\frac{13}{27}\times\frac{4}{27}=\frac{52}{3^6}$
→解答を隠す←

［解答を見る］

イ）じゃんけんの勝負参加者数が［4人→3人→1人］と進む場合
　［4人→3人］となるのは，(1)の結果から $\frac{4}{27}$
　［3人→1人］となるのは，

並べ方は別として，手の出し方は(グ,チ,チ)など $3$ 通り
その各々について，手を出す人の決め方は「同じものがあるときの順列の総数」で数えられる
$\frac{3!}{1!2!}=3$ 通り
• 確率は $\frac{3\times 3}{3^3}=\frac{1}{3}$

　結局，この確率は $\frac{4}{27}\times\frac{1}{3}=\frac{4}{81}$
ウ）じゃんけんの勝負参加者数が［4人→2人→1人］と進む場合
　［4人→2人］となるのは，

並べ方は別として，手の出し方は(グ,グ,チ,チ)など $_3C_2=3$ 通り
その各々について，手を出す人の決め方は「同じものがあるときの順列の総数」で数えられる
$\frac{4!}{2!2!}=6$ 通り
• 確率は $\frac{18}{3^4}=\frac{2}{9}$

　［2人→1人］となるのは，

並べ方は別として，手の出し方は(グ,チ)など $_3C_2=3$ 通り
その各々について，手を出す人の決め方は「同じものがあるときの順列の総数」で数えられる
$\frac{2!}{1!1!}=2$ 通り
• 確率は $\frac{6}{3^2}=\frac{2}{3}$

　結局，この確率は $\frac{2}{9}\times\frac{2}{3}=\frac{4}{27}$
　ア～ウの和を求めると
$\frac{52}{3^6}+\frac{4}{81}+\frac{4}{27}=\frac{52+ 36+ 108}{3^6}=\frac{196}{729}$
→解答を隠す←

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