高校数学・確率

反復試行の確率（入試問題）

※このページは,PC用です．スマホでは画面の右半分が見えていない場合がありますので，了解願います

【目次】 • 順列，組合せ，確率（共通,センター問題）
• 確率の基本
• 確率の加法定理
• 確率の乗法定理
• 独立な試行の確率，反復試行の確率
• 条件付き確率
• 期待値
• 反復試行の確率（入試問題）
• 確率の計算（入試問題）
• 条件付き確率（入試問題）
• ベイズの定理
• 確率，センター試験問題(2000-2008)

♪♥ この教材は，高校数学の基本問題のうち，反復試行の確率（入試問題）のバックアップファイルです．
♫♣ 元の教材が機器や通信トラブルで読めないときに，こちらを使ってください．なお，学習の記録は付いていません．
== 反復試行の確率（数学A，入試問題） ==

【反復試行の確率】（基本）
　1回の試行で事象Aの起こる確率をp，その余事象の確率をq=1−pとするとき，この試行をn回繰り返す反復試行において，事象Aがちょうどr回起こる確率は
$_nC_rp^rq^{n-r}$ $(r=0,\hspace{2}1,\hspace{2}2,\hspace{2}\cdots\hspace{2},\hspace{2}n)$

（解説）
　n=5の場合を例にして解説する．
「1回の試行で事象Aの起こる確率をp，その余事象の確率をq=1−pとするとき，この試行を5回繰り返す反復試行において，事象Aがちょうど事象2回起こる確率を求める」

　事象Aの起こる場合をAで，事象Aの起こらない場合を事象×で表して，5回の試行の結果を一覧表にすると，5回の試行において事象Aが2回起こるのは，次の10通り．

1 2 3 4 5

AA×××

A×A××

A××A×

A×××A

×AA××

×A×A×

×A××A

××AA×

××A×A

×××AA

左の事象が起こる確率は，
p×p×q×q×q=p2×q3
p×q×p×q×q=p2×q3
p×q×q×p×q=p2×q3
･･････
･･････
･･････
･･････
･･････
･･････
q×q×q×p×p=p2×q3

　これらのどの場合も確率はp2×q3になるから，確率の合計は，場合の数が何通りあるかを調べて，その個数を掛ければよい．
　5回のうちで，Aで示した箇所を2つとる方法は， $_5C_2=10$ 通り．（残り3回は，自動的にAの起こらない場合になる）
　以上により，確率は $_5C_2p^2q^3$ となる．

　一般の場合も，同様にして，「1回の試行で事象Aの起こる確率をp，その余事象の確率をq=1−pとするとき，この試行をn回繰り返す反復試行において，事象Aがちょうど事象r回起こる確率は」
$_nC_rp^rq^{n-r}$
になることが分かる．

== 基本問題 ==
【例題1】

　白玉２個，赤玉４個が入っている袋がある．この袋から玉を１個取り出し，色を調べてからもとに戻すことを６回続けて行うとき，次の確率を求めよ．
(1)　白玉がちょうど４回出る確率
(2)　白玉が少なくとも４回出る確率
(3)　白玉が続けて５回以上出る確率

（2011高崎経済大経済学部）

（解答）
(1) 1回の試行で白玉が出る確率は $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ ，赤玉が出る確率は $\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$ だから，６回の試行で白玉が４回，赤玉が２回出る確率は
$_6C_4(\frac{1}{3})^4(\frac{2}{3})^2=\frac{20}{243}$ ･･･（答）
(2)
ア）　白玉が４回出る→上記の結果から， $\frac{20}{243}$
イ）　白玉が５回出る→ $_6C_5(\frac{1}{3})^5(\frac{2}{3})=\frac{4}{243}$
ウ）　白玉が６回出る→ $_6C_6(\frac{1}{3})^6=\frac{1}{729}$
排反事象の加法定理を使って，ア）イ）ウ）を加えると
$\frac{73}{729}$ ･･･（答）
(3)
　白玉が続けて５回出るのは

ア）　白白白白白赤→ $(\frac{1}{3})^5(\frac{2}{3})=\frac{2}{729}$
イ）　赤白白白白白→ $(\frac{1}{3})^5(\frac{2}{3})=\frac{2}{729}$

　白玉が６回続けて出るのは

→ $(\frac{1}{3})^6=\frac{1}{729}$

　これらの和は $\frac{5}{729}$ ･･･（答）

【類題1】　

　１個のサイコロを５回投げるとき，偶数の目が２回だけ出る確率は1である．また，１個のサイコロを２回投げるとき，出る目の和が５となる確率は2である．

（2014年度福岡大）

［解答を見る］

1
サイコロを１回投げるとき，偶数の目が出る確率は $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$ ，奇数の目が出る確率は $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$ だから，１個のサイコロを５回投げるとき，偶数の目が２回だけ出る確率は
$_5C_2(\frac{1}{2})^2(\frac{1}{2})^3=\frac{10}{32}=\frac{5}{16}$ ･･･（答）

2回和 1回	1	2	3	4	⑤	6
1	2	3	4	⑤	6	7
2	3	4	⑤	6	7	8
3	4	⑤	6	7	8	9
4	⑤	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10	11
6	7	8	9	10	11	12

2
１個のサイコロを２回投げるとき，出る目の和が５となるのは，右の表の〇の場合であるから
$\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$ ･･･（答）
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【反復試行の確率】（応用）
　1回の試行で事象Aの起こる確率をα，事象Bの起こる確率をβ，事象Cの起こる確率をγとする．
　なお，事象A, B, Cは互いに排反で，1回の試行で事象A, B, Cのうちで，いずれかは必ず起こる．すなわち，α+β+γ=1である．
　この試行をn回繰り返す反復試行において，事象Aがr回，事象Bがs回，事象Cがt回，起こる確率は
$_nC_r\times _{n-r}C_s\alpha^r\beta^s\gamma^t$ $(r+ s+ t=n)$

（解説）
　n=4の場合を例にして解説する．
「1回の試行で事象Aの起こる確率をα，事象Bの起こる確率をβ，事象Cの起こる確率をγとする．
　この試行を4回繰り返す反復試行において，事象Aが2回，事象Bが1回，事象Cが1回，起こる確率を求める」

　事象Aの起こる場合をAで，事象Bの起こる場合をBで，事象Cの起こる場合をCで，4回の試行の結果を一覧表にすると，4回の試行において事象Aが2回，事象Bが1回，事象Cが1回，起るのは，次の12通り．

1 2 3 4

AABC

AACB

ABAC

ABCA

ACAB

ACBA

BAAC

BACA

BCAA

CAAB

CABA

CBAA

左の事象が起こる確率は，
α×α×β×γ=α2×β×γ
α×α×γ×β=α2×β×γ
α×β×α×γ=α2×β×γ
α×β×γ×α=α2×β×γ
･･････
･･････
･･････
･･････
･･････
･･････
･･････
γ×β×α×α=α2×β×γ

　これらのどの場合も確率はα2×β×γになるから，確率の合計は，場合の数が何通りあるかを調べて，その個数を掛ければよい．
　4回の試行において事象Aが2回起こる回を決める方法は $_4C_2$ 通り，その各々について残り２回の内で事象Bが1回起こる回を決める方法は $_2C_1$ 通り，残り１回は自動的に事象Cになる．
　以上により，確率は $_4C_2\times_2C_1\alpha^2\beta\gamma$ となる．

　一般の場合も，同様にして求められる．すなわち「1回の試行で事象Aの起こる確率をα，事象Bの起こる確率をβ，事象Cの起こる確率をγとするとき，この試行をn回繰り返す反復試行において，事象Aがr回，事象Bがs回，事象Cがt回，起こる確率は」
$_nC_r\times _{n-r}C_s\alpha^r\beta^s\gamma^t$
$=\frac{n!}{r!\sout{(n-r)!}}\times\frac{\sout{(n-r)!}}{s!(n-r-s)!}\alpha^r\beta^s\gamma^t$
$=\frac{n!}{r!s!t!}\alpha^r\beta^s\gamma^t$
になることが分かる．

【例題2】

　袋の中に赤玉１個，黒玉１個，青玉１個の同じ大きさ同じ重さの玉が合計３個入っている．
　この袋から玉を１個取り出し，色を調べてからもとに戻すことを６回続けて行うとき，赤玉が３回，黒玉が２回，青玉が１回出る確率を求めよ．

（解答）
　例えば，赤赤赤黒黒青の順に出る確率は
$(\frac{1}{3})^3(\frac{1}{3})^2(\frac{1}{3})^1=\frac{1}{3^6}$ ･･･(1)
　順序が変わっても，赤玉が３回，黒玉が２回，青玉が１回出るこのような出方は，どの確率も $\frac{1}{3^6}$ になる．
　次に，赤玉が３回，黒玉が２回，青玉が１回出る出方が全部で何通りあるか調べる．
　①②③④⑤⑥
　６枚の番号札があるものとして，その中から「赤が出る番号札を３個もらう方法」（上の図では，①③⑤となっている）は， $_6C_3$ 通り．
　その各々について，残り３個の番号札から「黒が出る番号札を２個もらう方法」（上の図では②⑥となっている）は， $_3C_2$ 通り．
　その残り１個は自動的に青玉に決まる．（上の図では④となっている）
　以上から，赤玉が３回，黒玉が２回，青玉が１回出る出方は，
$_6C_3\times _3C_2=\frac{6!}{3!3!}\times\frac{3!}{2!1!}=\frac{6!}{3!2!1!}$ ･･･(2)
　(1)(2)から，求める確率は
$_6C_3\times _3C_2\times\frac{1}{3^6}$

　上記の解答において，黒玉や青玉が出る番号札を先にもらっても結果に影響しない．
　たとえば，６個の番号札から「黒玉の番号札を２個もらい，次に残り４個の中から青玉の番号札を1個もらうと，残りは自動定期に赤玉の札になる．」このようなもらい方の総数は
$_6C_2\times _4C_2=\frac{6!}{2!4!}\times\frac{4!}{1!3!}=\frac{6!}{2!1!3!}$ ･･･(2’)

== 「n回で終る」という形の問題 ==
【例題3】

　A，Bの２人が繰り返しじゃんけんをして，先に３勝をした方を優勝とする．ただし，２人とも，グー，チョキ，パーを出す確率はすべて $\frac{1}{3}$ とし，あいこも１回と数えるものとする．また，優勝者が決まった時点でじゃんけんは終了する．
(1)　3回目に優勝者が決まらない確率を求めよ．
(2)　5回目にAの優勝が決まる確率を求めよ．
(3)　6回目にAの優勝が決まる確率を求めよ．

（2016年度北海学園大工学部）

勝者		B
勝者		グー	チョキ	パー
A	グー	あいこ	A	B
	チョキ	B	あいこ	A
	パー	A	B	あいこ

（解答）
(1)　右の表の9通りの場合について，どの出方も同じ確率で出るから
　１回のじゃんけんで，Ａが勝つ確率は $\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$
　１回のじゃんけんで，Ｂが勝つ確率は $\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$
　１回のじゃんけんで，あいこになる確率は $\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$
　３回目に勝者が決まるのは，
ア）勝者：A→A→Aとなる場合
$p_1=\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{27}$
イ）勝者：B→B→Bとなる場合
$p_2=\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{27}$
ア）イ）より
$p=p_1+ p_2=\frac{2}{27}$
求めるものは，その余事象だから
$1-p=\frac{25}{27}$ ･･･（答）

(2)　４回終了時点で，Aの勝ちが２回，それ以外（Bまたはあいこ）が２回あって，５回目にＡが勝つ確率を求める
　A　A　他　他　|　A　

$p=_4C_2(\frac{1}{3})^2(\frac{2}{3})^2\times(\frac{1}{3})=\frac{8}{81}$ ･･･（答）

（注意）５回の内Aが３回勝つという数え方では，できない．
$p=_5_3(\frac{1}{3})^3(\frac{2}{3})^2=\frac{40}{243}$
この数え方の中には，
ⅰ）３回目で終わってしまう場合（上記(1)の途中経過）および
$\frac{2}{27}$
ⅱ）４回目で終ってしまう場合
　他　A　A　A　|　他　
　A　他　A　A　|　他　
　他　A　A　A　|　他　
が含まれており，題意に合わない

(3)　5回終了時点でAが２回勝っていて，６回目にAが勝つ場合
ただし，　A　他　他　他　A　|　A　

となるものの内には，　A　B　B　B　A　|　A　（Bの勝ち）が含まれているので，これを取り除く

$_5C_2(\frac{1}{3})^2\{(\frac{2}{3})^3-(\frac{1}{3})^3\}\times(\frac{1}{3})=\frac{70}{729}$ ･･･（答）

【類題3.1】　

　AとBの2人がじゃんけんをして，どちらかが3回勝つまで続けるというゲームをする．ただし，あいこも回数に含める．4回目のじゃんけんで，Aがゲームに勝つ

確率はア　　イウ　　　である．

　また，5回以下のじゃんけんで，ゲームが終わる確率

はエオ　　カキ　　　である．

（2011年度成蹊大経済学部）

［解答を見る］

勝者		B
勝者		グー	チョキ	パー
A	グー	あいこ	A	B
	チョキ	B	あいこ	A
	パー	A	B	あいこ

右の表の9通りの場合について，どの出方も同じ確率で出るから
　１回のじゃんけんで，
Ａが勝つ確率は $\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$
　１回のじゃんけんで，
Ｂが勝つ確率は $\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$
　１回のじゃんけんで，あいこになる確率は $\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$
■　3回終了時点で，Aの勝ちが２回，それ以外（Bまたはあいこ）が1回あって，4回目にＡが勝つ確率を求める
　A　A　他　|　A　

$_3C_2(\frac{1}{3})^2(\frac{2}{3})\times(\frac{1}{3})=\frac{2}{27}$ ･･･（答）
■　Aが3回目のじゃんけんでゲームに勝つ確率は
$(\frac{1}{3})^3=\frac{1}{27}$
■　Aが4回目のじゃんけんでゲームに勝つ確率は，上記の計算により
$\frac{2}{27}$
■　Aが5回目のじゃんけんでゲームに勝つのは，4回目までにAの勝ちが２回，他が２回あって，５回目にAが勝つ場合だから
$_4C_2(\frac{1}{3})^2(\frac{2}{3})^2\times(\frac{1}{3})=\frac{8}{81}$
■　以上から，５回以下のじゃんけんでAが勝つ確率は
$\frac{1}{27}+\frac{2}{27}+\frac{8}{81}=\frac{17}{81}$
■　５回以下のじゃんけんでBが勝つ確率はAと同じだから
$\frac{34}{81}$ ･･･（答）
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【類題3.2】　

　１枚の硬貨を繰り返し投げ，表が４回出たところで硬貨投げを終了する．終了するまでに硬貨を投げた回数がnとなる確率をPn (n≧4)とする．
(1)　P4とP5を求めよ．
(2)　Pnをnを用いて表せ．
(3)　 $\frac{P_{n+ 1}}{P_n}$ をnを用いて表せ．
(4)　Pnを最大にするnの値をすべて求めよ．また，そのときのPnを求めよ．

（2011年度青山学院大経営学部）

［解答を見る］

(1)　P4･･･４回とも表が出る確率
$P_4=(\frac{1}{2})^4=\frac{1}{16}$

　P5･･･4回終了時点で，表が3回，裏が1回出ていて，5回目に表が出る確率
　表　表　裏　表　|　表　など

$P_5=_4C_3(\frac{1}{2})^3(\frac{1}{2})\times (\frac{1}{2})=\frac{4}{32}=\frac{1}{8}$

(2)　Pn･･･n−1回終了時点で，表が3回，裏がn−4回出ていて，n回目に表が出る確率
$P_n=_{n-1}C_3(\frac{1}{2})^3(\frac{1}{2})^{n-4}\times (\frac{1}{2})=\frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{6\times 2^n}$
(3)

一般に，数列 $a_n\hspace{5}(n=1,2,3,\cdots)$ の最大値を求めるには
$a_{n+ 1}-a_n\gt 0$ （増加）
となるnの範囲を求めればよい．ただし，確率 $p_n\hspace{5}(n=1,2,3,\cdots)$ のように正の値（または0）から成る場合は，
$\frac{p_{n+ 1}}{p_n}\gt 1$
の形で，比が１よりも大きいか小さいかで調べてもよい．（よく使う）

$\frac{P_{n+ 1}}{P_n}=\frac{n(n-1)(n-2)}{6\times 2^{n+ 1}}\times\frac{6\times 2^n}{(n-1)(n-2)(n-3)}$
$=\frac{n}{2(n-3)}$
(4)
$\frac{P_{n+ 1}}{P_n}=\frac{n}{2(n-3)}\gt 1\leftrightarrow n\gt 2(n-3)\leftrightarrow n\lt 6$
$\frac{P_{n+ 1}}{P_n}=\frac{n}{2(n-3)}=1\leftrightarrow n=2(n-3)\leftrightarrow n=6$
$\frac{P_{n+ 1}}{P_n}=\frac{n}{2(n-3)}\lt 1\leftrightarrow n\lt 2(n-3)\leftrightarrow n\gt 6$
$P_1\lt\cdots\lt P_5\lt P_6=P_7\gt P_8\cdots$ となるから，n=6, 7のとき最大になる．
$P_6=P_7=\frac{5\times 4\times 3}{6\times 2^6}=\frac{5}{32}$ ･･･（答）
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== 数直線上の移動 ==
【例題4】

　数直線上の座標xに点Pがあるとき，表と裏がそれぞれ $\frac{1}{2}$ の確率で出る硬貨２枚を１回投げて，点Pの位置を次のように決める．
(ⅰ) ２枚とも表が出たときは，座標x+1に移動する．
(ⅱ) ２枚とも裏が出たときは，座標x−1に移動する．
(ⅲ) 表と裏が１枚ずつ出たときは，移動しない．
　点Pの最初の位置を座標0とする．硬貨２枚を５回投げ終わったときに，点Pが次の位置にある確率をそれぞれ求めよ．
(1) 座標4　(2) 座標3　(3) 座標0

（2014大阪府立大）

表	表
表	裏
裏	表
裏	裏

（解答）
(1)　ア：２枚表が出る確率は $\frac{1}{4}$ ，イ：２枚裏が出る確率は $\frac{1}{4}$ ，ウ：表と裏が１枚ずつ出る確率は $\frac{1}{2}$
　硬貨２枚を５回投げ終わったときに，点Pが座標4にあるのは，「アが４回とウが1回となる場合」だから
$_5C_4(\frac{1}{4})^4(\frac{1}{2})=\frac{5}{512}$ ･･･（答）
(2)　硬貨２枚を５回投げ終わったときに，点Pが座標3にあるのは，「アが４回とイが1回となる場合」「アが３回とウが２回となる場合」だから
$_5C_4(\frac{1}{4})^4(\frac{1}{4})=\frac{5}{1024}$
$_5C_4(\frac{1}{4})^3(\frac{1}{2})^2=\frac{5}{128}$

これらを加えると， $\frac{45}{1024}$ ･･･（答）
(3)　硬貨２枚を５回投げ終わったときに，点Pが座標0にあるのは，「アが2回，イが2回，ウが1回となる場合」「アが1回，イが1回，ウが3回となる場合」「アが0回，イが0回，ウが5回となる場合」だから
$_5C_2\times _3C_2(\frac{1}{4})^2(\frac{1}{4})^2(\frac{1}{2})=\frac{15}{256}$
$_5C_1\times _4C_1(\frac{1}{4})(\frac{1}{4})(\frac{1}{2})^3=\frac{5}{32}$
$(\frac{1}{2})^5=\frac{1}{32}$
これらを加えると， $\frac{63}{256}$ ･･･（答）

【類題4】　

　数直線上の動点Aがはじめ原点にある．動点Aは１秒ごとに数直線上を正の向きまたは負の向きにそれぞれ $\frac{1}{2}$ の確率で指定された長さを移動するものとする．n秒後に動点Aが原点に戻る確率をpnとする．ただし，nは自然数とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1) 動点Aが１秒ごとに正の向きに１または負の向きに１移動するとき，p1，p2を求めよ．
(2) 動点Aが１秒ごとに正の向きに１または負の向きに１移動するとき，pnを求めよ．
(3) 動点Aが１秒ごとに正の向きに３または負の向きに１移動するとき，pnを求めよ．

（2011年度新潟大理系）

［解答を見る］

(1) 1秒後には，1か−1の場所におり，原点に戻ることは起こらないから，p1=0
　2秒後に原点に戻る確率は， $p_2=_2C_1(\frac{1}{2})(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}$
(2) nが奇数のときは，pn=0
nが偶数のとき，n=2mとおくと
$p_n=_{2m}C_m(\frac{1}{2})^m(\frac{1}{2})^m=\frac{(2m)!}{m!m!}\times\frac{1}{2^{2m}}$
(3) 正の向きにm回，負の向きにn−m回移動して，原点に戻ったとすると
$3m-(n-m)=0\rightarrow n=4m$
ア）　nが4の倍数でないときは，pn=0
イ）　n=4m（mは正の整数）のときは
$p_n=_{4m}C_m(\frac{1}{2})^m(\frac{1}{2})^{3m}=\frac{(4m)!}{m!3m!}\times\frac{1}{2^{4m}}$
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== 平面上の移動 ==
【例題5】

　表と裏が同じ確率 $\frac{1}{2}$ で出る２つの硬貨A, Bがある．xy平面上の点Pがこの２つの硬貨A, Bを同時に投げた結果によって移動する．点Pは，硬貨Aを投げて表が出たらx軸方向に+1移動し，裏が出たらx軸方向に−1移動する．また，硬貨Bを投げて表が出たらy軸方向に+1移動し，裏が出たらy軸方向に−1移動する．点Pは最初に原点にあるものとし，このような操作をくり返すとき，次の問いに答えよ．
(1)　点Pが４回目の操作で初めて原点にもどる確率を求めよ．
(2)　点Pが６回目の操作で直線y=4−xの上にある確率を求めよ．

（2011東京海洋大）

（解答）
(1)　１回の操作で右図の①②③④の方向に移動する確率は，それぞれ $\frac{1}{4}$ だから，４回の操作で初めて原点にもどるもののうちで，①からスタ-トするものが右図の５通り．

①→①→③→③
①→④→②→③
①→④→③→②
①→②→④→③
①→②→③→④
$(\frac{1}{4})^4\times 5$

　②③④からスタートするものも同数あるから
$(\frac{1}{4})^4\times 5\times 4=\frac{5}{64}$ ･･･（答）

(2)
　右図の●印の位置に来るには，
(①の回数)－(③の回数)=2 となればよく，②④の回数は関係ない．
ア）6回の内で①が2回，③が0回，②または④が4回となるのは
$_6C_2(\frac{1}{4})^2\times(\frac{1}{2})^4=\frac{15}{256}$
イ）6回の内で①が3回，③が1回，②または④が2回となるのは
$_6C_3(\frac{1}{4})^3(\frac{1}{4})\times _3C_1(\frac{1}{4})(\frac{1}{2})^2=\frac{15}{256}$
ウ）6回の内で①が4回，③が2回，②または④が0回となるのは
$_6C_4(\frac{1}{4})^4(\frac{1}{4})^2=\frac{15}{4096}$
以上から，
$\frac{495}{4096}$ ･･･（答）

【類題5】　

　座標平面上の定点A(1, 1), B(2, 1), C(2, 2), D(3, 3)と動点Pを考える．Pは原点O(0, 0)から出発する．表の出る確率が $\frac{1}{3}$ ，裏の出る確率が $\frac{2}{3}$ のコインを投げ，そのたびに，表が出ればx軸の正方向に1，裏が出ればy軸の正方向に1だけ進む．コインを6回投げるとき，次の問いに答えなさい．
(1)　PがDに達する確率を求めなさい．
(2)　PがA，Bの両方を通過してDに達する確率を求めなさい．
(3)　PがA，B，Cの少なくとも１つを通過してDに達する確率を求めなさい．

（2014年度龍谷大理工学部）

［解答を見る］

(1)　コインを6回投げるとき，表が3回，裏が3回出るとDに達する．
　その確率は，反復試行の確率によって求めることができる．
$_6C_3(\frac{2}{3})^3(\frac{1}{3})^3=20\times\frac{2^3}{3^6}=\frac{160}{729}$
(2)　Aを通過するには，x方向→y方向と進む，またはy方向→x方向と進めばよい
$_2C_1(\frac{2}{3})(\frac{1}{3})$
その各々について，Bを追加するには，さらにx方向に進めばよい
$\times(\frac{1}{3})$
その各々について，Dを通過するには，さらにx方向に１回，y方向に２回進めばよい
$\times _3C_2(\frac{1}{3})(\frac{2}{3})^2$
以上を掛けると， $\frac{16}{243}$
(3)
AもBもCも通らないのは，右図のアイウの場合で，それぞれの道を通る確率は
ア　 $(\frac{2}{3})^3(\frac{1}{3})^3=\frac{8}{729}$
イ　 $(\frac{2}{3})^2(\frac{1}{3})(\frac{2}{3})(\frac{1}{3})^2=\frac{8}{729}$
ウ　 $(\frac{1}{3})^3(\frac{2}{3})^3=\frac{8}{729}$
アイウの和を求めると $\frac{24}{729}$
Dに達する確率から引くと $\frac{160}{729}-\frac{24}{729}=\frac{136}{729}$
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== 三角形などの図形上の移動 ==
【例題6】

　１枚のコインを１回投げて，三角形ABCの１つの頂点にある駒を，

表が出たとき，左回りで隣の頂点に写し，
左が出たとき，右回りで隣の頂点に移す

という試行を考える．初めに駒を頂点Aに置く．
次の問いに答えよ．
(1)　この試行を２回繰り返したとき，駒が頂点Aにある確率P2を求めよ．
(2)　この試行を３回繰り返したとき，駒が頂点Aにある確率P3を求めよ．
(3)　この試行を４回繰り返したときに，駒が頂点Aに始めてもどってくる確率Q4を求めよ．
(4)　この試行をn回(n≧2)繰り返したときに，駒が頂点Aに始めてもどってくる確率Qnを求めよ．

（2005広島大）

（解答）
(1)　表裏，裏表と出る（左右，右左と進む）確率を求める
$P_2=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$
(2)　表表表，裏裏裏と出る（左左左，右右右と進む）確率を求める
$P_3=(\frac{1}{2})^3+(\frac{1}{2})^3=\frac{1}{4}$
(3)　表表裏裏，裏裏表表と出る（左左右右，右右左左と進む）確率を求める
$Q_4=(\frac{1}{2})^4+(\frac{1}{2})^4=\frac{1}{8}$
(4)　この試行をn回(n≧2)繰り返したときに，駒が頂点Aに始めてもどってくるのは，次の２つの場合だけ
　ア）nが奇数のとき，A→Bの後CB間を行き来した後，C→Aと進む場合
$(\frac{1}{2})\times(\frac{1}{2})^{n-2}\times(\frac{1}{2})=\frac{1}{2^n}$
　イ）nが偶数のとき，A→Bの後CB間を行き来した後，B→Aと進む場合（ただし，n=2のときは，上記のP2に示されるように，BCの往復はない）
$(\frac{1}{2})\times(\frac{1}{2})^{n-2}\times(\frac{1}{2})=\frac{1}{2^n}$
ア）イ）の和を求めると
$Q_n=\frac{1}{2^n}+\frac{1}{2^n}=\frac{1}{2^{n-1}}$

【類題6.1】　** (2)は計算が複雑 **

　右の図のような正方形ABCDがあり，初めに点Pと点Qがそれぞれ頂点Aと頂点Cにあるとする．２つの点PとQはそれぞれサイコロSPとSQを投げて出た目の数だけ正方形の頂点を反時計まわりに移動する．例えば，サイコロSPとSQを１回ずつ投げたとき，サイコロSPの出た目が1，サイコロSQの出た目が4であった場合，点Pは頂点Aから頂点Bに移動し，点Qは頂点Cから１周まわって頂点Cにもどる．また，サイコロSPとSQを２回ずつ投げたとき，サイコロサイコロSPの出た目が2と6，サイコロSQの出た目が5と1であった場合，点Pは頂点Aから2周まわって頂点Aにもどり，点Qは頂点Cから1周半まわって頂点Aに移動する．このとき，次の問いに答えよ．
(1)　サイコロSPとSQを1回ずつ投げたとき，２つの点PとQが同じ位置となる確率を求めよ．
(2)　サイコロSPとSQを2回ずつ投げたとき，２つの点PとQが同じ位置となる確率を求めよ．

（2011年度東京海洋大）

［解答を見る］

p $\backslash$ q	1	2	3	4	5	6
1			〇
2				〇
3	〇				〇
4		〇				〇
5			〇
6				〇

出た目を各々p, qとすると，p=q+2またはq=p+2となればよいから，右図で〇を付けたものが，題意に合う．
$\frac{8}{36}=\frac{2}{9}$
(2)

p	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10	11
6	7	8	9	10	11	12

q	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10	11
6	7	8	9	10	11	12

出た目の和を各々p, qとすると，2≦p, q≦12の範囲において，q=p+2, q=p+6, q=p+10またはp=q+2, p=q+6, p=q+10となればよい
ア)p=2(1通り)に対して

q=4(3通り),q=8(5通り),q=12(1通り)

小計⇒ 1×(3+5+1)=9通り

イ)p=3(2通り)に対して

q=5(4通り),q=9(4通り)

小計⇒ 2×(4+4)=16通り

ウ)p=4(3通り)に対して

q=6(5通り),q=10(3通り),q=2(1通り)

小計⇒ 3×(3+5+1)=27通り

エ)p=5(4通り)に対して

q=7(6通り),q=11(2通り),q=3(2通り)

小計⇒ 4×(6+2+2)=40通り

オ)p=6(5通り)に対して

q=8(5通り),q=12(1通り),q=4(3通り)

小計⇒ 5×(5+3+1)=45通り

カ)p=7(6通り)に対して

q=9(4通り),q=5(4通り)

小計⇒ 6×(4+4)=48通り

キ)p=8(5通り)に対して

q=10(3通り),q=6(5通り),q=2(1通り)

小計⇒ 5×(3+5+1)=45通り

ク)p=9(4通り)に対して

q=11(2通り),q=7(6通り),q=3(2通り)

小計⇒ 4×(2+6+2)=40通り

ケ)p=10(3通り)に対して

q=12(1通り),q=8(5通り),q=4(3通り)

小計⇒ 3×(1+5+3)=27通り

コ)p=11(2通り)に対して

q=9(4通り),q=5(4通り)

小計⇒ 2×(4+4)=16通り

サ)p=12(1通り)に対して

q=10(3通り),q=6(5通り),q=2(1通り)

小計⇒ 1×(3+5+1)=9通り

ア～サを加えると，合計322通り

確率は， $\frac{322}{6^4}=\frac{161}{648}$

ア～サまでの場合分けを，入試の会場でやり切るのはとても大変．別解も次に示す

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［類題6.1の別解を見る］

　1回目，２回目に出た目を各々x, yとおくと

1回目の差x−y
x $\backslash$ y	1	2	3	4	5	6
1	0	−1	−2	−3	−4	−5
2	1	0	−1	−2	−3	−4
3	2	1	0	−1	−2	−3
4	3	2	1	0	−1	−2
5	4	3	2	1	0	−1
6	5	4	3	2	1	0

2回目の差x−y
x $\backslash$ y	1	2	3	4	5	6
1	0	−1	−2	−3	−4	−5
2	1	0	−1	−2	−3	−4
3	2	1	0	−1	−2	−3
4	3	2	1	0	−1	−2
5	4	3	2	1	0	−1
6	5	4	3	2	1	0

ア）１回目に出た目がx=y−3となるのは3通り．その各々について，２回目に出た目がx=y+5となるのは1通り．

小計⇒ 3×1=3通り

イ）１回目に出た目がx=y−2となるのは4通り．その各々について，２回目に出た目がx=y+4となるのは2通り．

小計⇒ 4×2=8通り

ウ）１回目に出た目がx=y−1となるのは5通り．その各々について，２回目に出た目がx=y+3となるのは3通り．

小計⇒ 5×3=15通り

エ）１回目に出た目が等しくなるのは6通り．その各々について，２回目に出た目がx=y+2となるのは4通り．

小計⇒ 6×4=24通り

オ）１回目に出た目がx=y+1となるのは5通り．その各々について，２回目に出た目がx=y+1となるのは5通り．

小計⇒ 5×5=25通り

カ）１回目に出た目がx=y+1となるのは5通り．その各々について，２回目に出た目がx=y+5となるのは1通り．

小計⇒ 5×1=5通り

キ）１回目に出た目がx=y+2となるのは4通り．その各々について，２回目に出た目がx=yとなるのは6通り．

小計⇒ 4×6=24通り

ク）１回目に出た目がx=y+2となるのは4通り．その各々について，２回目に出た目がx=y+4となるのは2通り．

小計⇒ 4×2=8通り

ケ）１回目に出た目がx=y+3となるのは3通り．その各々について，２回目に出た目がx=y−1となるのは5通り．

小計⇒ 3×5=15通り

コ）１回目に出た目がx=y+3となるのは3通り．その各々について，２回目に出た目がx=y+3となるのは3通り．

小計⇒ 3×3=9通り

サ）１回目に出た目がx=y+4となるのは2通り．その各々について，２回目に出た目がx=y−2となるのは4通り．

小計⇒ 2×4=8通り

シ）１回目に出た目がx=y+4となるのは2通り．その各々について，２回目に出た目がx=y+2となるのは4通り．

小計⇒ 2×4=8通り

ス）１回目に出た目がx=y+5となるのは1通り．その各々について，２回目に出た目がx=y−3となるのは3通り．

小計⇒ 1×3=3通り

セ）１回目に出た目がx=y+5となるのは1通り．その各々について，２回目に出た目がx=y+1となるのは5通り．

小計⇒ 1×5=5通り

シ）１回目に出た目がx=y+5となるのは1通り．その各々について，２回目に出た目がx=y+5となるのは1通り．

小計⇒ 1×1=1通り

以上xの和が大きくなる場合が，161通り
yの和が大きくなる場合も同数あるから，合計322通り

確率は， $\frac{322}{6^4}=\frac{161}{648}$
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［さらに別解2を見る］

（別解2）

p	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10	11
6	7	8	9	10	11	12

q	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10	11
6	7	8	9	10	11	12

　SPの出た目の和がp=2, 6, 10のとき，Pは点Cにある．ここで，p=2, 6, 10となるのは，1+5+3=9通り．その確率は $\frac{9}{36}$
　同様にして，SPの出た目の和がp=3, 7, 11のとき，Pは点Dにある．ここで，p=3, 7, 11となるのは，2+6+2=10通り．その確率は $\frac{10}{36}$
　同様にして，SPの出た目の和がp=4, 8, 12のとき，Pは点Aにある．ここで，p=4, 8, 12となるのは，3+5+1=9通り．その確率は $\frac{9}{36}$
　同様にして，SPの出た目の和がp=5, 9のとき，Pは点Bにある．ここで，p=5, 9となるのは，4+4=8通り．その確率は $\frac{8}{36}$
　同様にして，Qが点A,B,C,Dにある確率は各々 $\frac{9}{36},\frac{10}{36},\frac{9}{36},\frac{8}{36}$
　P,QともAに来るのは， $\frac{9}{36}\times\frac{9}{36}$
　P,QともBに来るのは， $\frac{8}{36}\times\frac{10}{36}$
　P,QともCに来るのは， $\frac{9}{36}\times\frac{9}{36}$
　P,QともDに来るのは， $\frac{10}{36}\times\frac{8}{36}$
　結局，P,Qが同じ位置になる確率は $\frac{81+ 80+ 81+ 80}{36^2}=\frac{322}{1296}=\frac{161}{648}$
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【類題6.2】

　正六角形ABCDEFの頂点Dと正六角形の外部の点Gを線分で結んだ右のような図形がある．動点Pはこの図形の線分上を動き，点から点へ移動する．動点Pの隣接する点への移動には１秒間を要する．また，隣接する点が複数あるときは，等しい確率でどれか１つの点に移動するものとする．
(1)　動点PがAから出発して4秒後にGにいる確率は

53 　　　 54,55 　　　である．

(2)　動点PがAから出発して5秒後にDにいる確率は

56,57 　　　 58,59 　　　である．

(3)　動点PがAから出発してDに到達した時点で移動を終了するとき，2n+1秒以内に移動を終了する確率は

60n−61n 　　　　　 62n 　　　　　である．

（2014年度慶応義塾大薬学部）

［解答を見る］

(1)
[A]→B→C→D→Gまたは[A]→F→E→D→G
となる確率は
$(\frac{1}{2})^3(\frac{1}{3})+(\frac{1}{2})^3(\frac{1}{3})=\frac{1}{12}$
(2)
ア）４秒後にGにいて，５秒後にDにいる確率は
$\frac{1}{12}\times 1$
イ）４秒後にCにいて，５秒後にDにいるのは

[A]→F→A→B→C→D $(\frac{1}{2})^4\times(\frac{1}{2})$
[A]→B→A→B→C→D $(\frac{1}{2})^4\times(\frac{1}{2})$
[A]→B→C→B→C→D $(\frac{1}{2})^4\times(\frac{1}{2})$
[A]→B→C→D→C→D $(\frac{1}{2})^3(\frac{1}{3})\times(\frac{1}{2})$
[A]→F→E→D→C→D $(\frac{1}{2})^3(\frac{1}{3})\times(\frac{1}{2})$
小計 $\frac{13}{96}$

ウ）４秒後にEにいて，５秒後にDにいるのは，イ）と同じだから
小計 $\frac{13}{96}$
合計 $\frac{1}{12}+\frac{13}{96}+\frac{13}{96}=\frac{17}{48}$

(3)
2n+1秒以内に終了する確率を $p_n$ ，終了しない確率を $q_n$ とおくと，右図のnで示した◎にあったものが，n+1に移る8通りのうちで6通りがDに達しないから
$q_{n+ 1}=\frac{3}{4}q_n$
また， $q_1=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$
　この漸化式から一般項を求めると，
$q_{n}=\frac{3}{4}\times(\frac{3}{4})^{n-1}=(\frac{3}{4})^n$
$p_{n}=1-q_n=1-(\frac{3}{4})^n=\frac{4^n-3^n}{4^n}$
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