高校数学・確率

確率の乗法定理

♪♥ このページは，元の教材「高校数学の基本問題」の「確率の乗法定理」について，サーバ・トラブル等に備えてバックアップ・ファイルとして作成したものです．
♫♣ ただし，学習の記録は付いていません．

※このページは,PC用です．スマホでは画面の右半分が見えていない場合がありますので，了解願います

【目次】 • 順列，組合せ，確率（共通,センター問題）
• 確率の基本
• 確率の加法定理
• 確率の乗法定理
• 独立な試行の確率，反復試行の確率
• 条件付き確率
• 期待値
• 反復試行の確率（入試問題）
• 確率の計算（入試問題）
• 条件付き確率（入試問題）
• ベイズの定理
• 確率，センター試験問題(2000-2008)

■乗法定理 == 確率の乗法定理 ==
■条件つき確率の定義式

※事象Ｂが起こる確率［単なる（普通の）確率］は，集合Ｂの要素の個数n(B)を全体集合Ｕの要素の個数で割った分数で定義されます．
$P(B)=\frac{n(B)}{n(U)}=\frac{n(B)}{N}$ これに対して，「事象Ａが起こったという条件のもとで事象Ｂが起こる確率」「事象Ａが起こったということが分かっているときに，さらに事象Ｂが起こる確率」は「ＡのもとでＢが起こる条件付確率」と呼ばれ， $P_A(B)$ で表されます．
$P_A(B)=\frac{n(A\cap B)}{n(A)}=\frac{\frac{n(A\cap B)}{N}}{\frac{P(A)}{N}}=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$ ※この定義において，事象Ａが起こったと分かっている場合なので，上の図の灰色で示した注という箇所は，この条件付確率 $P_A(B)$ の分母にも分子にも入っていないことに注意しましょう．

分母を払って変形すると，

になります．この式を確率の乗法定理といいます．

※　確率の乗法定理は，３つ以上の事象についても順次掛けていえば成り立ちます．

【例1】
袋の中に当りくじ２個，はずれくじ３個，合計5個のくじが入っている．Ｘ，Ｙの２人がこの順にくじを１個ずつ引き，引いたくじは元に戻さないとき，Ｘが当り，Ｙがはずれる確率

（解答）
Ｘが当たりくじを引くという事象をＡで，Ｙがはずれくじを引くという事象をＢで表わすと $P(A)=\frac{2}{5}$ Ｘが当りくじを引いたとき，残り4個のくじの中に当り１個，はずれ3個となるから， $P_A(B)=\frac{3}{4}$ ゆえに， $P(A\cap B)=P(A)\cdot P_A(B)=\frac{3}{10}$

【例2】
袋の中に当りくじ２個，はずれくじ３個，合計5個のくじが入っている．Ｘ，Ｙの２人がこの順にくじを１個ずつ引き，引いたくじは元に戻さないとき，ＸとＹのどちらが有利か．

（解答）
Ｘが当たる確率は $\frac{2}{5}$ ・・・(1)
Ｙが当たるのは，「Ｘが当たってＹも当たる場合」と「ＸがはずれてＹが当たる場合」がある．
$\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{4}+\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{4}=\frac{2}{5}$ ・・・(2)
(1)(2)は等しいので，Ｘ，Ｙの当たる確率は等しい．　先に引いた人が当たるのを見たら後に引く人は当たりにくくなり，
先に引いた人がはずれるのを見たら後に引く人は当たりやすくなるが，

※重要※
始めの時点で考えれば，
「くじに当たる確率は，引く順序に関係ない．」

※正しいと思う選択肢をクリック（タップ）すると，採点結果が表示され，解説が読めます．以下の問題も同様です．解答しなければ，解説は出ません． ≪問題１≫ 袋の中に当りくじ２個，はずれくじ３個，合計5個のくじが入っている．Ｘ，Ｙの２人がこの順にくじを１個ずつ引き，引いたくじは元に戻さないものとするとき，Ｘがはずれくじを引きＹが当りくじを引く確率を求めよ． $\frac{1}{4}$ $\frac{1}{5}$ $\frac{3}{5}$ $\frac{1}{9}$ $\frac{3}{10}$ $\frac{7}{10}$ $\frac{5}{18}$ $\frac{6}{25}$ $\frac{23}{27}$ $\frac{323}{432}$ $\frac{35}{1296}$ 解説	≪問題２≫ 袋の中に当りくじ２個，はずれくじ３個，合計5個のくじが入っている．Ｘ，Ｙの２人がこの順にくじを１個ずつ引き，引いたくじは元に戻さないとき，少なくとも１人が当りくじを引く確率を求めよ． $\frac{1}{4}$ $\frac{1}{5}$ $\frac{3}{5}$ $\frac{1}{9}$ $\frac{3}{10}$ $\frac{7}{10}$ $\frac{5}{18}$ $\frac{6}{25}$ $\frac{23}{27}$ $\frac{323}{432}$ $\frac{35}{1296}$ 解説
≪問題３≫ 袋の中に白玉２個，赤玉3個，黄玉4個の計9個の球が入っている．Ａ，Ｂがこの順に球を１個ずつ取り出し，取り出した玉は元に戻さないものとする．このとき，ＡとＢが同じ色の玉を取り出す確率を求めよ． $\frac{1}{4}$ $\frac{1}{5}$ $\frac{3}{5}$ $\frac{1}{9}$ $\frac{3}{10}$ $\frac{7}{10}$ $\frac{5}{18}$ $\frac{6}{25}$ $\frac{23}{27}$ $\frac{323}{432}$ $\frac{35}{1296}$ 解説 $\frac{2}{9}\cdot \frac{1}{8} + \frac{3}{9}\cdot \frac{2}{8} + \frac{4}{9}\cdot \frac{3}{8}=\frac{20}{72}=\frac{5}{18}$	≪問題４≫（むずかしい) 特大，大，中，小の４個のさいころを投げるとき，出た目の和が20になる確率を求めよ． $\frac{1}{4}$ $\frac{1}{5}$ $\frac{3}{5}$ $\frac{1}{9}$ $\frac{3}{10}$ $\frac{7}{10}$ $\frac{5}{18}$ $\frac{6}{25}$ $\frac{23}{27}$ $\frac{323}{432}$ $\frac{35}{1296}$ 解説
≪問題５≫（むずかしい) Ａ，Ｂ，Ｃの３人で２回ジャンケンをし，１回目に負けた者は２回目のジャンケンに加われないものとする．ジャンケンを２回するとき，２回目のジャンケンでＡが１人勝ちになる確率を求めよ． $\frac{1}{4}$ $\frac{1}{5}$ $\frac{3}{5}$ $\frac{1}{9}$ $\frac{3}{10}$ $\frac{7}{10}$ $\frac{5}{18}$ $\frac{6}{25}$ $\frac{23}{27}$ $\frac{323}{432}$ $\frac{35}{1296}$ 解説	≪問題６≫（むずかしい) Ａ，Ｂ，Ｃの３人でジャンケンをし，負けた者は次回以降のジャンケンに加われないものとする．３回までジャンケンできるとき，３回目までに勝者が１人に絞られる確率を求めよ． $\frac{1}{4}$ $\frac{1}{5}$ $\frac{3}{5}$ $\frac{1}{9}$ $\frac{3}{10}$ $\frac{7}{10}$ $\frac{5}{18}$ $\frac{6}{25}$ $\frac{23}{27}$ $\frac{323}{432}$ $\frac{35}{1296}$ 解説

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